気相－液相の相平衡においては, $\Delta H$ はモル蒸発熱 $\Delta H_{\rm{V}}$ に対応し, $\Delta V$ は気体のモル体積 $V_{\rm{g}}$から液体のモル体積 $V_{\rm{l}}$を引いた体積の変化量 $V_{\rm{g}}-V_{\rm{l}}$ となる. ここでは, $V_{\rm{l}}$ は $V_{\rm{g}}$ よりも小さく無視できるとするので, $\Delta V=V_{\rm{g}}$ と考える. また, $\Delta H＝\Delta H_{\rm{V}}$は定数と考える. \bigskip 1[mol]の理想気体においては, $$V_{\rm{g}}=\displaystyle\frac{RT}{P}$$ となるので, (1) より, $$\displaystyle\frac{dP}{dT}=\displaystyle\frac{\Delta H_{\rm{V}}}{TV_{\rm{g}}}=\displaystyle\frac{\Delta H_{\rm{V}}}{T\cdot\displaystyle\frac{RT}{P}}=\displaystyle\frac{\Delta H_{\rm{V}} P}{RT^2}$$ 初期条件「$T=T_{\rm{b}}$ のとき $P=P_0$」のもとで，微分方程式 $$\displaystyle\frac{dP}{dT}=\displaystyle\frac{\Delta H_{\rm{V}} P}{RT^2}$$ を解く. 変数を分離し, 積分すると, $$\displaystyle\frac1P\,dP=\displaystyle\frac{\Delta H_{\rm{V}} }{RT^2}\,dT$$ $$\displaystyle\int_{P_0}^P\displaystyle\frac1P\,dP=\int_{T_{\rm{b}}}^T\displaystyle\frac{\Delta H_{\rm{V}} }{RT^2}\,dT$$ $$\Bigl[\ln|P|\Bigr]_{P_0}^{P}=\Bigl[-\displaystyle\frac{\Delta H_{\rm{V}}}{RT}\Bigr]_{T_{\rm{b}}}^{T}$$ $$\ln P-\ln P_0=-\displaystyle\frac{\Delta H_{\rm{V}}}{RT}+\displaystyle\frac{\Delta H_{\rm{V}}}{RT_{\rm{b}}}$$ したがって, $$\ln \displaystyle\frac{P}{P_0}=-\displaystyle\frac{\Delta H_{\rm{V}}}{R}\left(\displaystyle\frac1T-\displaystyle\frac1{T_{\rm{b}}}\right)$$ を得る. この式は状態図 (相図) の気－液曲線における圧力と温度の関係を表している. %=image:/media/2014/08/31/140941170044063300.jpg: \bigskip 【注意】 \item 変数分離形の1階微分方程式 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ は $\displaystyle\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx$ と変形して両辺を積分する. 初期条件「$x=x_0$ のとき, $y=y_0$」が与えられたときは, $$\displaystyle\int_{y_0}^{y}\displaystyle\frac{dy}{g(y)}=\int_{x_0}^{x}f(x)\,dx$$ と定積分すると特殊解が得られる. \bigskip \item $\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{x}=\ln |x|+C$, $\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2}=-\displaystyle\frac1x+C$ $\qquad$ （積分公式） \bigskip \item $\ln M-\ln N=\ln\displaystyle\frac{M}{N}$ $\qquad$ (対数の性質) \bigskip