【方針】 \item Aの濃度$C_{\rm{A}}$ は反応時間$t$の1変数関数と考える. $C_{\rm{A}}^{\,0}$ は定数である. \bigskip \item ここでは, 与えられた微分方程式を, 初期条件「$t=0$ のとき, $C_{\rm{A}}=C_{\rm{A}}^{\,0}$」のもとで解く. \bigskip 【解答】微分方程式 $-\displaystyle\frac{dC_{\rm{A}}}{dt}=kC_{\rm{A}}$ を, 初期条件「$t=0$ のとき, $C_{\rm{A}}=C_{\rm{A}}^{\,0}$」のもとで解く. 変数を分離して積分すると, $$\displaystyle\frac{dC_{\rm{A}}}{C_{\rm{A}}}=-k\,dt$$ $$\displaystyle\int_{C_{\rm{A}}^{\,0}}^{C_{\rm{A}}}\displaystyle\frac{dC_{\rm{A}}}{C_{\rm{A}}}=-\int_{0}^{t}k\,dt$$ $$\Bigl[\ln|C_{\rm{A}}|\Bigr]_{C_{\rm{A}}^{\,0}}^{C_{\rm{A}}}=-\Bigl[kt\Bigr]_{0}^{t}$$ $$\ln C_{\rm{A}}-\ln C_{\rm{A}}^{\,0}=-kt$$ $$\ln \displaystyle\frac{C_{\rm{A}}}{C_{\rm{A}}^{\,0}}=-kt$$ $$\displaystyle\frac{C_{\rm{A}}}{C_{\rm{A}}^{\,0}}=e^{-kt}$$ これより, $$C_{\rm{A}}=C_{\rm{A}}^{\,0}\cdot e^{-kt}$$ を得る. %=image:/media/2014/08/30/140941029538682800.jpg: \bigskip 【注意】 \item 変数分離形の1階微分方程式 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ は $\displaystyle\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx$ と変形して両辺を積分する. 初期条件「$x=x_0$ のとき, $y=y_0$」が与えられたときは, $$\displaystyle\int_{y_0}^{y}\displaystyle\frac{dy}{g(y)}=\int_{x_0}^{x}f(x)\,dx$$ として定積分すると, 特殊解が得られる. \bigskip \item $\ln M=r$ のとき, $M=e^r$ となる. ($e$は自然対数の底)