時刻 $t\,\left[\textrm{s}\right]$ のときの 質点の位置を $x(t)\,\left[\textrm{m}\right]$, 速度を $v(t)\,\left[\textrm{m}/\textrm{s}\right]$ とする。 条件から, % \begin{align*} x(0)=0, \quad v(0)=v_0 \end{align*} % である。 抵抗に関する条件から, 質点に加わるのは抵抗は $-\gamma\boldsymbol{v}$ である。 したがって, 運動方程式 $\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}$ は % \begin{align*} -\gamma\boldsymbol{v}=m\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2} \end{align*} % である。 直線上の運動であるから, $\boldsymbol{r}=x(t)$ とすることができ, 運動方程式は, $x(t)$ に関する2階線形微分方程式 % \begin{align*} x' '(t)+\frac{\gamma}{m}x'(t)=0 \quad (x(0)=0, \ x'(0)=v_0) \end{align*} % となる。 $x'(t)=v(t)$ であるから, この微分方程式は $v(t)$ に関する1階線形微分方程式 % \begin{align*} v'(t)+\frac{\gamma}{m}v(t)=0 \quad (v(0)=v_0) \end{align*} % と書き直すことができる。 この微分方程式の一般解は % \begin{align*} v(t)=Ce^{-\frac{\gamma}{\,m\,}t} \quad (\mbox{$C$ は任意定数}) \end{align*} % となる。 これに $t=0$ を代入することによって, $v(0)=v_0$ を満たす特殊解 % \begin{align*} v(t)=v_0 e^{-\frac{\gamma}{\,m\,}t} \end{align*} % が得られる。 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}v(t)=0$ であるから, 質点 P は十分な時間が経過するとやがて静止する。 位置 $x(t)$ は % \begin{align*} x(t) = x(0)+\int_{0}^{t} v_0e^{-\frac{\gamma}{\,m\,}t}\,dt = \frac{mv_0}{\gamma}\left(1-e^{-\frac{\gamma}{\,m\,}t}\right) \end{align*} % となるから, 静止するまでに進むことができる距離 $s_{\infty}$ は % \begin{align*} s_{\infty} = \lim_{x\to\infty}x(t) = \lim_{x\to\infty} \frac{mv_0}{\gamma}\left(1-e^{-\frac{\gamma}{\,m\,}t}\right) = \frac{mv_0}{\gamma} \end{align*} % である。