(1), (2) より, $$P(r)=4\pi r^2\cdot\displaystyle\frac{1}{\pi a_0^3}e^{-\frac{2r}{a_0}}=\displaystyle\frac{4}{a_0^3}r^2e^{-\frac{2r}{a_0}}$$ したがって, $$\displaystyle\frac{dP}{dr}=\displaystyle\frac{4}{a_0^3}\left(2re^{-\frac{2r}{a_0}}-r^2\cdot\displaystyle\frac{2}{a_0}e^{-\frac{2r}{a_0}}\right)=\displaystyle\frac{8}{a_0^3}r\left(1-\displaystyle\frac{r}{a_0}\right)e^{-\frac{2r}{a_0}}$$ $\displaystyle\frac{dP}{dr}=0$ とすると, $e^{-\frac{2r}{a_0}}\ne0$ であるので, $r=0,\ a_0$. $r\geqq0$ で増減表を書くと, $$ \begin{array}{c|*4{|c}}\hline r & 0 & \cdots & a_0 & \cdots \\\hline P’& 0 & + & 0 & - \\\hline P & 0 & \nearrow & \displaystyle\frac{4}{a_0 e^2} & \searrow \\\hline \end{array} $$ これより, $r=a_0$ のとき $P(r)$ は最大となる. したがって, $r_{\rm{max}}=a_0$ となる. %=image:/media/2014/08/31/140941129947159800.jpg: \bigskip 【注意】 \item ここでは, $r$ の関数 $P(r)$ の増減を, 導関数を使って調べている. \bigskip \item $\left\{f(x)g(x)\right\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ $\qquad$ (微分公式) \bigskip \item $\left\{e^{f(x)}\right\}'=f'(x)e^{f(x)}$ $\qquad$ (指数関数の導関数)