質点 P が粗い面にさしかかってから $t$ 秒後の P の 位置を $x(t)$, 速度を $v(t)$ とする。 粗い面上で, 運動する質点 P が受ける摩擦力の大きさを $F$ とすれば, % \begin{align*} F=mg \mu \end{align*} % が成り立つ。 摩擦力は運動と逆の方向に働くから, 粗い面上での運動方程式は % \begin{align*} -mg\mu=mx' '(t) \end{align*} % となる。 $x'(t)=v(t)$ であるから, この微分方程式は % \begin{align*} v'(t)=-g\mu \end{align*} % となる。 これを積分することによって, 一般解 % \begin{align*} v(t)=C-g\mu t \quad (\mbox{$C$ は任意定数}) \end{align*} % が得られる。 与えられた条件から $v(0)=v_0$ であるから, % \begin{align*} v_0=C \quad \mbox{よって} \quad v(t)=v_0-g\mu t \quad \cdots \cdots [1] \end{align*} % となる。 速度を積分すれば位置が得られる。 $x(0)=0$ であることに注意すれば, % \begin{align*} x(t)=v_0t-\frac{1}{2}g\mu t^2 \quad \cdots \cdots [2] \end{align*} % となる。 質点 P が制止する時刻を $t=t_0\,\,\left[\textrm{s}\right]$ とすれば, [1] から, % \begin{align*} v(t_0)=v_0-g\mu t_0=0 \quad \mbox{よって} \quad t_0=\frac{v_0}{g\mu} \end{align*} % となる。 粗い面にさしかかってから静止するまでに動いた距離 $s$ は, 時刻 $t=t_0$ における物体の位置 $x(t_0)$ と等しいから, % \begin{align*} s = x(t_0) = v_0t_0-\frac{1}{2}g\mu t_0^2 = \frac{v_0^2}{2g\mu} \,\left[\textrm{m}\right] \end{align*} % である。