線光源の微小長さを $dx$ としてそれを点光源とみなす。そこから発せられる光が線光源の長さ分だけ,P 点に影響を与えていると考える。
ここで、$\angle$OP$dx$を $θ$ とおくと、微小長さ $dx$ から P 点に向かう光度 $I_θ$ は 三角関数により$I_n\cosθ$であり、また $dx$ は $x=r_n\tanθ$ より $θ$ で微分して、$dx=r_n/\cos^2θdθ$と表すことができる。
これらを用いてP 点における $dx$ 方向の法線面照度 $dE_n$を求めると次式となる。
\begin{equation}
dE_n=\frac{I_θ\cosθdx}{r_θ^2} =\frac{I_n\cosθ\cosθdx}{(r_n/\cosθ)^2}=\frac{I_n\cos^2θdθ}{r_n}
\end{equation}
これを線光源の長さ分積分して求めれば、
\begin{equation}
E_n=\int_0^θ\frac{I_n\cos^2θ}{r_n}dθ
\end{equation}
となる。これを2倍角の公式を使って変形すると、
\begin{equation}
E_n=\frac{I_n}{2r_n}\int_0^θ{(1+\cos2θ)}dθ=\frac{I_n}{2r_n}\biggl[θ+\frac{\sin2θ}{2}\biggl]_0^θ=\frac{I_n}{2r_n}\bigl[θ+\sinθ\cosθ\bigl]_0^θ
\end{equation}
とあらわせる。
ここで、$θ$ を $x$ と $r_n$ を三角関数を使って表すと
\begin{equation}
θ=\frac{I_n}{2r_n}\biggl[\tan^{-1}\frac{x}{r_n}+\frac{xr_n}{x^2+r_n^2}\biggl]_0^θ
\end{equation}
であるから、
\begin{equation}
E_n=\frac{I_n}{2r_n}\biggl( \tan^{-1}\frac{x}{r_n}+\frac{xr_n}{x^2+r_n^2}\biggl)
\end{equation}
となる。したがって、求める水平面照度 $E_h$ は、
\begin{equation}
E_h=E_n\cosβ
\end{equation}
で得られる。