物体の質量:$m$として,
水平方向には力は働かず,垂直方向には重力:$-mg$のみが働くから,
水平・垂直方向の運動方程式より,
%
\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
0 &= m{a_x} = m\frac{{{{\rm{d}}^{\rm{2}}}x}}{{{\rm{d}}{t^2}}} (水平)\\
- mg &= m{a_y} = m\frac{{{{\rm{d}}^{\rm{2}}}y}}{{{\rm{d}}{t^2}}} (垂直)\\
\end{array}
\right.
\end{align*}
%
速度:${\vt{v}} = \left( {{v_x},{v_y}} \right)$は,初期条件${\vt{v}_0} = \left( {{v_{x0}},{v_{y0}}} \right) = \left( {{v_0}\cos \theta ,{v_0}\sin \theta } \right)$より,各々時間$t$で積分して,
%
\begin{align*}
{v_x} &= \frac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}t}} = {v_{x0}} + \int_0^t {{a_x}\,{\rm{d}}t} = {v_0}\cos \theta ,\\
{v_y} &= \frac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}t}} = {v_{y0}} + \int_0^t {{a_y}\,{\rm{d}}t} = {v_0}\sin \theta - gt
\end{align*}
%
位置:${\vt{r}} = \left( {x,y} \right)$は,初期条件${\vt{r}_0} = \left( {{x_0},{y_0}} \right) = \left( {0,0} \right)$より,各々時間$t$で積分して,
%
\begin{align*}
x &= {x_0} + \int_0^t {{v_x}\,{\rm{d}}t} = {v_0}t\cos \theta ,\\
y &= {y_0} + \int_0^t {{v_y}\,{\rm{d}}t} = {v_0}t\sin \theta - \frac{1}{2}g{t^2}
\end{align*}
%
最高点の条件:${v_y}\left( {{T_H}} \right) = 0$より,その時刻${T_H}$は,
%
\begin{align*}
{v_y}\left( {{T_H}} \right) &= {v_0}\sin \theta - g{T_H} = 0 \\
∴{T_H} &= \frac{{{v_0}\sin \theta }}{g}
\end{align*}
%
最高点高さ${y(T_H)}$は,時刻${T_H}$を代入して,
%
\begin{align*}
y\left( {{T_H}} \right) &= {v_0}{T_H}\sin \theta - \frac{1}{2}gT_H^2\\
&= {v_0}\sin \theta \frac{{{v_0}\sin \theta }}{g} - \frac{1}{2}g{\left( {\frac{{{v_0}\sin \theta }}{g}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {{v_0}\sin \theta } \right)}^2}}}{{2g}}
\end{align*}
%
水平到達の条件:$t(T_L)=0$より,その時刻$T_L$は,
%
\begin{align*}
y\left( {{T_L}} \right) &= {v_0}{T_L} \sin \theta - \frac{1}{2}gT_L^2 = 0 \\
∴{T_L} &= \frac{{2{v_0} \sin \theta }}{g}
\end{align*}
%
水平到達距離$x(T_L)$は,時刻$T_L$を代入して,
%
\begin{align*}
x\left( {{T_L}} \right) &= {v_0}{T_L} \cos \theta \\
&= {v_0}\frac{{2{v_0} \sin \theta }}{g} \cos \theta = \frac{{2v_0^2 \sin \theta \cos \theta }}{g} = \frac{{v_0^2 \sin 2\theta }}{g}
\end{align*}
%
最大水平到達距離の条件:$\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\theta }}x\left( {{T_L}} \right) = 0$であるから,
%
\begin{align*}
\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}} \theta }}x\left( {{T_L}} \right) &= \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}} \theta }}\left( {\frac{{v_0^2 \sin 2 \theta }}{g}} \right) = \frac{{v_0^2}}{g} 2 \cos 2 \theta = 0 \\
∴\cos 2 \theta &= 0
\end{align*}
%
これを満たす最大水平到達距離となる投射角度:$\theta _{\max }$は,斜方投射の角度範囲$\left( {0 < {\theta _{\max }} < \frac{\pi }{2}} \right)$では,\[\theta _{\max } = \frac{\pi }{4}\]となる。
尚,この時の最大水平到達距離は\[{x_{\max }}\left( {{T_L}} \right) = \frac{{v_0^2}}{g}\]となる。
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