{\bf 【方針】} \item $x$はメタノール（液体）の質量分率, $y$はメタノール（気体）の質量分率を表す. $y$を$x$の関数と考え, $\displaystyle\frac1{y-x}$ を $x$の関数とみて$x_1=0.5$ から $x_2=0.2$ まで定積分する. \bigskip \item 区間$[a,b]$ ($a< b$) を$n$等分した分点を $$a=a_0< a_1< a_2< \cdots< a_n=b$$ とし, $\Delta x=\displaystyle\frac{b-a}{n}$, $f_i=f(a_i)$ ($i=0,1,2,\dots,n$) とするとき, 台形公式は $$\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\fallingdotseq \left\{\frac12(f_0+f_n)+(f_1+f_2+\cdots+f_{n-1})\right\}\Delta x$$ \bigskip \item ここでは, 区間 $[0.2,0.5]$ の4つのデータから定積分の値を求める. $\Delta x=0.1$ である. \bigskip {\bf 【解答】} 気液平衡データより, $x=0.2,\ 0.3,\ 0.4,\ 0.5$ に対する $\displaystyle\frac1{y-x}$ の値は次のようになる. % %\renewcommand{\arraystretch}{2} $$ \begin{array}{|c|*{4}{c|}} \hline x & 0.2 & 0.3 & 0.4 & 0.5 \\\hline y & 0.57 & 0.65 & 0.73 & 0.77 \\\hline \displaystyle\frac1{y-x} & 2.70 & 2.86 & 3.03 & 3.70 \\\hline \end{array} $$ % $\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{y-x}=\int_{0.5}^{0.2}\frac{dx}{y-x}=-\int_{0.2}^{0.5}\frac{dx}{y-x}$ となる. 台形公式により, $$\int_{0.2}^{0.5}\frac{dx}{y-x}=\left(\frac{2.70}2+2.86+3.08+\frac{3.70}2\right)\times0.1=0.909$$ となるので, (1) により, $$\ln \frac{S_2}{S_1}=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{y-x}=-0.909\qquad \textrm{(符号に注意する)}$$ したがって, $\displaystyle\frac{S_2}{S_1}=e^{-0.909}$ となるので, 求める質量$S_2$は $$S_2=e^{-0.909}S_1=0.403\times500=201.5\textrm{[g]}$$ となる. \bigskip 【注意】 \item $\log_{e}x=\ln x$ と書く. $\qquad$ (自然対数) \bigskip \item $\ln M=r$ のとき, $M=e^r$ となる. ($e$は自然対数の底) \bigskip \item $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=-\displaystyle\int_b^af(x)\,dx$ \bigskip 【参考事項】数値積分, 台形公式