例題集

理想気体の性質と状態変化(9) 断熱変化

適用レベル   難易度: ★★★
理想気体の可逆断熱変化に関する次の問いに答えよ. $(1)$ 熱力学の第一法則から次式を導け. ただし, $p$ は圧力,$V$ は容積,$\kappa$ は比熱比である. \[ pV^\kappa=C(一定) \] $(2)$ 状態1から状態2への変化において,気体が外部にする絶対仕事 $W_{12}$ は次式となることを示せ. ただし,添字は状態を表す. \[ W_{12}=\frac{1}{\kappa-1}(p_1V_1-p_2V_2) \] $(3)$ 状態$1$から状態$2$への変化の概略ならびに絶対仕事 $W_{12}$ を $p--V$ 線図上に描け.
$(1)$ 熱力学の第一法則より, \[ d'Q=dU+d'W \left( ' は状態量でないことの記し\right) \] 可逆変化における仕事の定義により, \[ d'W=pdV \] またこのときの定容比熱の定義により, (第一法則より $d’Q=dU+pdV =mc_vdT+pdV$.定容 $dV=0$ における定義であることに注意) \[ c_v=\frac{1}{m}\left( \frac{\partial Q}{\partial T} \right)_v=\frac{1}{m}\frac{dU}{dT} \] さらに断熱だから,$d’Q=0$ したがって,第一法則は次のように書き換えられる. \[ 0=mc_vdT+pdV  ・・・(1)' \] 一方,理想気体の状態方程式より, \[ pV=mRT \] 上式において,$p,V,T$は変数であるので,両辺を微分して, \[ pdV+Vdp=mRdT  ・・・(2)' \] 式$ (1)' $と式$(2)'$より,$dT$ を消去して,整理すると, \[ \frac{c_v+R}{c_v}pdV+Vdp=0 \\ \frac{c_p}{c_v}pdV+Vdp=0 \left(\because c_v+R=c_p\right) \\ \kappa pdV+Vdp=0 \left(\because \kappa=\frac{c_p}{c_v}\right)  ・・・(3)' \] 変数分離形になっていることに注意して式$(3)'$を積分する. \[ \kappa \frac{dV}{V}+\frac{dp}{p}=0 \\ \kappa \int \frac{dV}{V}+\int \frac{dp}{p}=C\left(Cは積分定数\right) \\ \kappa \ln {V}+\ln {p}=C\left(不定積分\right) \\ \ln {pV^\kappa}=C \] \[ \therefore pV^\kappa=C' \] $(2)$ 絶対仕事の定義により, \[ W_{12} = \int_1^2 pdV \] 断熱変化であるので,$pV^\kappa=p_1V_1^\kappa=p_2V_2^\kappa=C \ $(一定)であるから, \begin{eqnarray*} W_{12} & = & C \int_1^2 V^{-\kappa}dV \\ & = & \frac{C}{1-\kappa} \left( V_2^{1-\kappa}-V_1^{1-\kappa} \right) \\ & = & \frac{1}{\kappa-1} \left( p_1V_1^{\kappa}V_1^{1-\kappa}-p_2 V_2^{\kappa}V_2^{1-\kappa} \right) \\ & = & \frac{1}{\kappa-1} \left( p_1V_1-p_2 V_2 \right) \end{eqnarray*} [別解] 断熱変化なので,$dQ=0$ したがって,熱力学の第1法則より,$dW=−dU$ となるので, \begin{eqnarray*} W_{12} & = & - \int_1^2 dU \\ & = & U_1-U_2 \\ & = & mc_v \left( T_1-T_2 \right) \left(\because \Delta U=mc_v \Delta T\right) \\ & = & \frac{mR}{\kappa-1} \left( T_1-T_2 \right) \left(\because R=c_p-c_v, \ \ \kappa=\frac{c_p}{c_v}\right) \\ & = & \frac{1}{\kappa-1} \left( p_1V_1-p_2 V_2 \right) \left(\because pV=mRT 理想気体の状態方程式\right) \end{eqnarray*} $(3)$ %=image:/media/2015/02/03/142290182941645000.png: