$(1)$
熱力学の第一法則より,
\[
d'Q=dU+d'W \left( ' は状態量でないことの記し\right)
\]
可逆変化における仕事の定義により,
\[
d'W=pdV
\]
またこのときの定容比熱の定義により,
(第一法則より $d’Q=dU+pdV =mc_vdT+pdV$.定容 $dV=0$ における定義であることに注意)
\[
c_v=\frac{1}{m}\left( \frac{\partial Q}{\partial T} \right)_v=\frac{1}{m}\frac{dU}{dT}
\]
さらに断熱だから,$d’Q=0$
したがって,第一法則は次のように書き換えられる.
\[
0=mc_vdT+pdV ・・・(1)'
\]
一方,理想気体の状態方程式より,
\[
pV=mRT
\]
上式において,$p,V,T$は変数であるので,両辺を微分して,
\[
pdV+Vdp=mRdT ・・・(2)'
\]
式$ (1)' $と式$(2)'$より,$dT$ を消去して,整理すると,
\[
\frac{c_v+R}{c_v}pdV+Vdp=0
\\
\frac{c_p}{c_v}pdV+Vdp=0 \left(\because c_v+R=c_p\right)
\\
\kappa pdV+Vdp=0 \left(\because \kappa=\frac{c_p}{c_v}\right) ・・・(3)'
\]
変数分離形になっていることに注意して式$(3)'$を積分する.
\[
\kappa \frac{dV}{V}+\frac{dp}{p}=0
\\
\kappa \int \frac{dV}{V}+\int \frac{dp}{p}=C\left(Cは積分定数\right)
\\
\kappa \ln {V}+\ln {p}=C\left(不定積分\right)
\\
\ln {pV^\kappa}=C
\]
\[
\therefore pV^\kappa=C'
\]
$(2)$
絶対仕事の定義により,
\[
W_{12} = \int_1^2 pdV
\]
断熱変化であるので,$pV^\kappa=p_1V_1^\kappa=p_2V_2^\kappa=C \ $(一定)であるから,
\begin{eqnarray*}
W_{12} & = & C \int_1^2 V^{-\kappa}dV \\
& = & \frac{C}{1-\kappa} \left( V_2^{1-\kappa}-V_1^{1-\kappa} \right) \\
& = & \frac{1}{\kappa-1} \left( p_1V_1^{\kappa}V_1^{1-\kappa}-p_2 V_2^{\kappa}V_2^{1-\kappa} \right) \\
& = & \frac{1}{\kappa-1} \left( p_1V_1-p_2 V_2 \right)
\end{eqnarray*}
[別解]
断熱変化なので,$dQ=0$
したがって,熱力学の第1法則より,$dW=−dU$ となるので,
\begin{eqnarray*}
W_{12} & = & - \int_1^2 dU \\
& = & U_1-U_2 \\
& = & mc_v \left( T_1-T_2 \right) \left(\because \Delta U=mc_v \Delta T\right) \\
& = & \frac{mR}{\kappa-1} \left( T_1-T_2 \right) \left(\because R=c_p-c_v, \ \ \kappa=\frac{c_p}{c_v}\right) \\
& = & \frac{1}{\kappa-1} \left( p_1V_1-p_2 V_2 \right) \left(\because pV=mRT 理想気体の状態方程式\right)
\end{eqnarray*}
$(3)$
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