例題集

管型反応器の設計方程式の導出

知識・記憶レベル   難易度:
管型反応器における反応物{A}のモル流量を$F_{A}$、モル濃度を$C_{A}$、 反応率を$x_{A}$、そして反応速度を$r_{A}$とする. 反応器の入り口から反応器体積で$V\rm m^3$ 離れた箇所にある 円盤状の薄片(体積 $\varDelta V \rm m^3$) について、 定常状態での物質収支式は、$F_{A0}$は初期値として \[\frac{dV}{F_{A 0}}=\frac{dx_{A}}{-r_{A}}\] と表される。 原料液を体積流量 $v_0$ の速度で管型反応器に送液すると、設計方程式は \begin{equation*} \frac{V}{v_0}=C_{A 0}\int_{0}^{x_{A}}\frac{dx_{A}}{-r_{A}} \end{equation*} と表されることを導け。 %=image:/media/2014/09/19/141112689814671100.jpg:
\noindent {\bf 方針} \begin{enumerate} \item 置換積分の公式 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}F(x(t))\cdot\frac{dx}{dt}\cdot dt =\int_{a}^{b}F(x)\,dx$ $(x(\alpha)=a,\,x(\beta)=b)$ \item 流量速度が$v_0$、モル濃度$C_{A}$のとき、 モル流量$F_{A}$は、$F_{A}=v_0C_{A}$である。 \end{enumerate} {\bf 解答} 物質収支式が \[\frac{dV}{F_{A 0}}=\frac{dx_{A}}{-r_{A}}\] であるから、 \[\frac1{F_{A 0}}\cdot dV =\frac1{-r_{A}}\cdot \frac{dx_{A}}{dV}\cdot dV\] である。両辺を$V$で積分すると、置換積分の公式より \[\frac1{F_{A 0}}\int_{0}^{V}\,dV =\int_{0}^{V}\frac1{-r_{A}}\cdot \frac{dx_{A}}{dV}\cdot dV =\int_{0}^{x_{A}}\frac1{-r_{A}}\cdot dx_{A}\] である。したがって、 \[\frac{V}{F_{A 0}}=\int_{0}^{x_{A}}\frac{dx_{A}}{-r_{A}}\] が成り立つ。 流量速度$v_0$は単位時間当たりに流れる液体の体積であり、 $F_{A 0}=v_0 C_{A 0}$であるから、 \[ \frac{V}{v_0}=C_{A 0}\int_{0}^{x_{A}}\frac{dx_{A}}{-r_{A}} \] となる.これが、求める設計方程式である.