{\bf 方針}
\begin{enumerate}
\item
(1) 空間時間$\overline{t}$は槽内に流入した溶液の滞留時間を意味しており、
この時間は全ての槽内が新しい溶液に入れ替わる時間とみれる
\item
(2) 無次元時間は、全ての槽内が新しい溶液で何回入れ替わったかを
意味している。
\item
(3) 合成関数の微分法により、
$y=f(u),\,u=g(x)$のとき、
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$である。
\end{enumerate}
{\bf 解答}
$\displaystyle \theta=\frac{t}{\overline{t}}=\frac{v_0}{NV}\,t$であるから、
$\displaystyle t=\frac{NV}{v_0}\theta$である。
合成関数の微分法により、
\[
\frac{dC_{A,\,i}}{d\theta}
=\frac{dC_{A,\,i}}{dt}\cdot\frac{dt}{d\theta}
=\frac{NV}{v_0}\cdot\frac{dC_{A,\,i}}{dt}
\]
となるので、
$\displaystyle V\frac{dC_{A,\,i}}{dt}=\frac{v_0}{N}\cdot\frac{dC_{A,\,i}}{d\theta}$
である。したがって、与えられた微分方程式は
\begin{align*}
\frac{v_0}{N}\cdot\frac{dC_{A,\,i}}{d\theta}
=v_0C_{A, i-1}-v_0C_{A, i}
\end{align*}
となるので、変数を$\theta$とした微分方程式は
\begin{align*}
\frac{dC_{A,\,i}}{d\theta}
=NC_{A, i-1}-NC_{A, i}
\end{align*}
と表される.