例題集

多段CSTRが無次元時間に関して満たす微分方程式

知識・記憶レベル   難易度:
$N$個のCSTRを直列に配置し、初めに水を満たした状態から、 ある時間に1段目の入り口から$C_{A,\,0}$のモル濃度を持つ溶液を 体積流量$v_0$で連続的に供給させる. この操作による各槽のモル濃度を、それぞれ $C_{A,\,0},\,C_{A,\,1},\,C_{A,\,2},\,\ldots$とすると、 $i$段目の槽は、 \begin{equation*} V\frac{dC_{A, i}}{dt}=v_0C_{A, i-1}-v_0C_{A, i} \end{equation*} を満たす。 空間時間を$\displaystyle \overline{t}=\frac{NV}{v_0}$、 無次元時間$\theta$を$\displaystyle \theta=\frac{t}{\overline{t}}$により 導入するとき、 この微分方程式を無次元時間$\theta$に関する微分方程式で表せ.
{\bf 方針} \begin{enumerate} \item (1) 空間時間$\overline{t}$は槽内に流入した溶液の滞留時間を意味しており、 この時間は全ての槽内が新しい溶液に入れ替わる時間とみれる \item (2) 無次元時間は、全ての槽内が新しい溶液で何回入れ替わったかを 意味している。 \item (3) 合成関数の微分法により、 $y=f(u),\,u=g(x)$のとき、 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$である。 \end{enumerate} {\bf 解答} $\displaystyle \theta=\frac{t}{\overline{t}}=\frac{v_0}{NV}\,t$であるから、 $\displaystyle t=\frac{NV}{v_0}\theta$である。 合成関数の微分法により、 \[ \frac{dC_{A,\,i}}{d\theta} =\frac{dC_{A,\,i}}{dt}\cdot\frac{dt}{d\theta} =\frac{NV}{v_0}\cdot\frac{dC_{A,\,i}}{dt} \] となるので、 $\displaystyle V\frac{dC_{A,\,i}}{dt}=\frac{v_0}{N}\cdot\frac{dC_{A,\,i}}{d\theta}$ である。したがって、与えられた微分方程式は \begin{align*} \frac{v_0}{N}\cdot\frac{dC_{A,\,i}}{d\theta} =v_0C_{A, i-1}-v_0C_{A, i} \end{align*} となるので、変数を$\theta$とした微分方程式は \begin{align*} \frac{dC_{A,\,i}}{d\theta} =NC_{A, i-1}-NC_{A, i} \end{align*} と表される.