例題集

1次遅れ系のステップ応答

知識・記憶レベル   難易度: ★★★
1次遅れ系の微分方程式 \[\tau\frac{dy}{dt}+y(t)=Ku(t),\quad (y(0)=0)\] の伝達関数は、$\displaystyle G(s)=\frac{K}{\tau s+1}$である。 入力関数が$u(t)=y_0U(t)$であるときの出力関数$y(t)$を求めよ。 ただし、$U(t)$は単位ステップ関数 \[U(t)=\begin{cases}0 & (t<0)\\ 1 & (t\ge 0)\end{cases}\] とする。
{\bf 方針} \begin{enumerate} \item (1) 単位ステップ関数のラプラス変換は、 $\displaystyle {\cal L}\left\{U(t)\right\}=\frac1{s}$ である。 \item (2) 逆ラプラス変換の公式により \[{\cal L}^{-1}\left\{\frac1{s}\right\}=1,\quad {\cal L}^{-1}\left\{\frac1{s+\alpha}\right\}=e^{-\alpha t}\] \end{enumerate} {\bf 解答} ${\cal L}\left\{y(t)\right\}=Y(s),~{\cal L}\left\{u(t)\right\}=U(s)$とおくと、 \[{\cal L}\left\{u(t)\right\} ={\cal L}\left\{y_0U(t)\right\} =y_0{\cal L}\left\{U(t)\right\}=\frac{y_0}{s}\] であるから、 \begin{align*} Y(s)&=G(s)U(s)=\frac{K}{\tau s+1}\cdot \frac{y_0}{s}\\ &=\frac{Ky_0}{\tau}\cdot\frac{1}{\left(s+\frac1{\tau}\right) s}\\ &=Ky_0\left(\frac1{s}-\frac1{s+\frac1{\tau}}\right) \end{align*} である。したがって、逆ラプラス変換をすると、 求める出力関数は \begin{align*} y(t) &={\cal L}^{-1}\left\{Y(s)\right\}\\ &={\cal L}^{-1}\left\{Ky_0\left(\frac1{s}-\frac1{s+\frac1{\tau}}\right)\right\}\\ &=Ky_0\left(1-e^{-t/\tau}\right) \end{align*} である。 \noindent 【注】$\tau$の値が$0<\tau<1$となって小さいほど、 $e^{-t/\tau}$は急激に$0$に近づく。 したがって、そのとき$y(t)$は急激に$Ky_0$に近づく。 つまり、$\tau$が小さいほど応答も早いといえる。 %=image:/media/2014/08/26/140903472368238600.jpg: