{\bf 方針}
\begin{enumerate}
\item
(1) 単位ステップ関数のラプラス変換は、
$\displaystyle {\cal L}\left\{U(t)\right\}=\frac1{s}$ である。
\item
(2) 逆ラプラス変換の公式により
\[{\cal L}^{-1}\left\{\frac1{s}\right\}=1,\quad
{\cal L}^{-1}\left\{\frac1{s+\alpha}\right\}=e^{-\alpha t}\]
\end{enumerate}
{\bf 解答}
${\cal L}\left\{y(t)\right\}=Y(s),~{\cal L}\left\{u(t)\right\}=U(s)$とおくと、
\[{\cal L}\left\{u(t)\right\}
={\cal L}\left\{y_0U(t)\right\}
=y_0{\cal L}\left\{U(t)\right\}=\frac{y_0}{s}\]
であるから、
\begin{align*}
Y(s)&=G(s)U(s)=\frac{K}{\tau s+1}\cdot \frac{y_0}{s}\\
&=\frac{Ky_0}{\tau}\cdot\frac{1}{\left(s+\frac1{\tau}\right) s}\\
&=Ky_0\left(\frac1{s}-\frac1{s+\frac1{\tau}}\right)
\end{align*}
である。したがって、逆ラプラス変換をすると、
求める出力関数は
\begin{align*}
y(t)
&={\cal L}^{-1}\left\{Y(s)\right\}\\
&={\cal L}^{-1}\left\{Ky_0\left(\frac1{s}-\frac1{s+\frac1{\tau}}\right)\right\}\\
&=Ky_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)
\end{align*}
である。
\noindent
【注】$\tau$の値が$0<\tau<1$となって小さいほど、
$e^{-t/\tau}$は急激に$0$に近づく。
したがって、そのとき$y(t)$は急激に$Ky_0$に近づく。
つまり、$\tau$が小さいほど応答も早いといえる。
%=image:/media/2014/08/26/140903472368238600.jpg: