{\bf 方針} \begin{enumerate} \item (1) 正弦関数のラプラス変換は、 ${\cal L}\left\{\sin\omega t\right\}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$ である。 \item (2) 逆ラプラス変換の公式により、次のことが成り立つ。 \[{\cal L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^2+\omega^2}\right\} =\cos\omega t,\quad {\cal L}^{-1}\left\{\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\right\}=\sin\omega t\] \end{enumerate} {\bf 解答} ${\cal L}\left\{y(t)\right\}=Y(s),~{\cal L}\left\{u(t)\right\}=U(s)$とおくと、 \[{\cal L}\left\{u(t)\right\} ={\cal L}\left\{A\sin\omega t\right\} =A{\cal L}\left\{\sin\omega t\right\}=\frac{A\omega}{s^2+\omega^2}\] であるから、 \[ Y(s)=G(s)U(s)=\frac{K}{\tau s+1}\cdot \frac{A\omega}{s^2+\omega^2} =\frac{KA}{\tau}\cdot \frac{\omega}{\left(s+\frac1{\tau}\right)(s^2+\omega^2)} \] である。 ここで、右辺を部分分数に分解する。まず、未知数$a,b,c$に対して \[ \frac{\omega}{\left(s+\frac1{\tau}\right)(s^2+\omega^2)} =\frac{a}{s+\frac1{\tau}}+\frac{bs+c}{s^2+\omega^2} \] とおいて分母を払うと、 \begin{align*} \omega &=a(s^2+\omega^2)+(bs+c)\left(s+\frac1{\tau}\right)\\ &=(a+b)s^2+\left(\frac{b}{\tau}+c\right)s+\left(a\omega^2+\frac{c}{\tau}\right) \end{align*} である。両辺の係数を比較することにより、 \[a+b=0,\qquad \frac{b}{\tau}+c=0,　　 a\omega^2+\frac{c}{\tau}=\omega\] が得られる。したがって、 \[a+b=0,　　 b+\tau c=0,　　 a\tau\omega^2+c=\tau\omega\] である。$b$を消去すると \[a-\tau c=0,　　 a\tau\omega^2+c=\tau\omega\] となるから、 \[a=\frac{\tau^2\omega}{\tau^2\omega^2+1},　　 b=-\frac{\tau^2\omega}{\tau^2\omega^2+1},　　 c=\frac{\tau\omega}{\tau^2\omega^2+1}\] である。したがって、$Y(s)$は \begin{align*} Y(s) &=\frac{KA}{\tau}\left( \frac{\tau^2\omega}{\tau^2\omega^2+1}\cdot\frac{1}{s+\frac1{\tau}} +\frac{\tau\omega}{\tau^2\omega^2+1}\cdot \frac{-\tau s+1}{s^2+\omega^2}\right)\\ &= \frac{KA\tau\omega}{\tau^2\omega^2+1}\left( \frac1{s+\frac1{\tau}}-\frac{s}{s^2+\omega^2} +\frac1{\tau\omega}\cdot\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \right) \end{align*} と部分分数に分解される。 これを逆ラプラス変換をすることにより、 求める出力関数は \begin{align*} y(t) &={\cal L}^{-1}\left\{Y(s)\right\}\\ &=\frac{KA\tau\omega}{\tau^2\omega^2+1}\left( {\cal L}^{-1}\left\{\frac1{s+\frac1{\tau}}\right\} -{\cal L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^2+\omega^2}\right\} +\frac1{\tau\omega}{\cal L}^{-1}\left\{\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\right\} \right)\\ &=\frac{KA\tau\omega}{\tau^2\omega^2+1}\left( e^{-t/\tau}-\cos\omega t+\frac1{\tau\omega}\cdot\sin\omega t\right) \end{align*} である。