例題集

分布定数

知識・記憶レベル   難易度:
直列インピーダンス $Z$ および並列アドミタンス $Y$ が $x$ の関数として $Z=Z_{0}\varepsilon^{ax}$,$Y=Y_{0}\varepsilon^{-ax}$ で与えられるとき, 電圧を $x$ の関数として求めたい。以下の空欄に当てはまる値を答えよ。 ただし,$Z_{0}$ および $Y_{0}$ は $x$ に無関係とする。 電圧と電流は次の関係がある。 \begin{eqnarray} \frac{dV}{dx} = -ZI,~~ \frac{dI}{dx} = -YV \end{eqnarray} これらから \begin{eqnarray} \frac{d^{2}V}{dx^{2}}+\fbox{(a)}\frac{dV}{dx} +\fbox{(b)}V = 0 \end{eqnarray} となる。$V = A\varepsilon^{P x}$ とおいて代入する。 \begin{eqnarray} P^{2} +\fbox{(c)}P + \fbox{(d)} = 0 \end{eqnarray} これを解いて得られる $P$ を $\gamma = \frac{\sqrt{a^{2}+4Z_{0}Y_{0}}}{2}$ を用いてそれぞれ $P_{1}$,$P_{2}$と おくと \begin{eqnarray} P_{1} = \fbox{(e)}+\fbox{(f)},~~ P_{2} = \fbox{(e)}-\fbox{(f)} \end{eqnarray} となる。 これを用いて電圧 $V$ は次のように表現することができる。 \begin{eqnarray} V = A_{1}\varepsilon^{P_{1} x}+A_{2}\varepsilon^{P_{2} x} \end{eqnarray} ここで, \begin{eqnarray} \varepsilon^{\gamma x} = \sinh \gamma x + \cosh \gamma x \label{eqn:10}\\ -\varepsilon^{-\gamma x} = \sinh \gamma x - \cosh \gamma x \label{eqn:11} \end{eqnarray} 関係から \begin{eqnarray} V = \varepsilon^{\frac{a}{2}x}\left( \fbox{(g)}\cosh \gamma x + \fbox{(h)}\sinh \gamma x\right) \end{eqnarray} となる。
電圧と電流は次の関係がある。 \begin{eqnarray} \frac{dV}{dx} = -ZI,~~ \frac{dI}{dx} = -YV \end{eqnarray} $Z=Z_{0}\varepsilon^{ax}$,$Y=Y_{0}\varepsilon^{-ax}$ より, \begin{eqnarray} \frac{dV}{dx} = -Z_{0}\varepsilon^{ax}I,~~ \frac{dI}{dx} = -Y_{0}\varepsilon^{-ax}V \end{eqnarray} さらに $x$ で\reff{微分}{導関数の計算}すると \begin{eqnarray} \frac{d^{2}V}{dx^{2}} &=& -Z_{0}a\varepsilon^{ax}I-Z_{0}\varepsilon^{ax}\left(\frac{dI}{dx}\right)\nonumber\\ &=& a\frac{dV}{dx}-Z_{0}\varepsilon^{ax}(-Y_{0}\varepsilon^{-ax}V) \nonumber\\ &=& a\frac{dV}{dx} + Z_{0}Y_{0}V \end{eqnarray} となり,整理すると \begin{eqnarray} \frac{d^{2}V}{dx^{2}}\underline{- a}\frac{dV}{dx} \underline{- Z_{0}Y_{0}}V = 0 \end{eqnarray} となる。$V = A\varepsilon^{P x}$ とおいて代入する。 \begin{eqnarray} A P^{2}\varepsilon^{P x} - Aa\gamma \varepsilon^{P x} - Z_{0}Y_{0}A\varepsilon^{P x} = 0\nonumber\\ \Rightarrow ~~ P^{2} \underline{- a}P\underline{- Z_{0}Y_{0}} = 0\nonumber\\ \end{eqnarray} これを解くと \begin{eqnarray} P = \frac{a\pm \sqrt{a^{2}+4Z_{0}Y_{0}}}{2} = \frac{a}{2} \pm \frac{\sqrt{a^{2}+4Z_{0}Y_{0}}}{2} \end{eqnarray} となる。 ここで,$\gamma = \frac{\sqrt{a^{2}+4Z_{0}Y_{0}}}{2}$ と定義すると \begin{eqnarray} P_{1} = \frac{a}{2} +\gamma,~~ P_{2} = \frac{a}{2} -\gamma \end{eqnarray} となる。 これを用いて電圧 $V$ は次のように表現することができる。 \begin{eqnarray} V &=& A_{1}\varepsilon^{P_{1} x}+A_{2}\varepsilon^{P_{2} x}\nonumber\\ &=& A_{1}\varepsilon^{\left(\frac{a}{2} +\gamma\right) x}+A_{2}\varepsilon^{ \left(\frac{a}{2} -\gamma\right) x}\\ &=& \varepsilon^{\frac{a}{2}x}\left( A_{1}\varepsilon^{\gamma x} + A_{2}\varepsilon^{-\gamma x} \right) \end{eqnarray} ここで, \begin{eqnarray} \varepsilon^{\gamma x} = \sinh \gamma x + \cosh \gamma x \\ -\varepsilon^{-\gamma x} = \sinh \gamma x - \cosh \gamma x \end{eqnarray} 関係から \begin{eqnarray} V &=& \varepsilon^{\frac{a}{2}x}\left( A_{1}(\sinh \gamma x + \cosh \gamma x)\right)\nonumber\\ &&\left. + A_{2}(-\sinh \gamma x + \cosh \gamma x)\right)\nonumber\\ &=& \varepsilon^{\frac{a}{2}x}\left( (A_{1}+A_{2})\cosh \gamma x + (A_{1}-A_{2})\sinh \gamma x\right)\nonumber\\ \end{eqnarray} となる。 \noindent (a) = $-a$\par (b) = $-Z_{0}Y_{0}$\par (c) = $-a$\par (d) = $-Z_{0}Y_{0}$\par (e) = $\dfrac{a}{2}$\par (f) = $\gamma$\par (g) = $A_{1}+A_{2}$\par (h) = $A_{1}-A_{2}$