図1は,図2の波形 $f_{1}(t)$ が時間 $5$ 遅れて
足されていると考えることができる。
\begin{eqnarray}
f(t) = f_{1}(t)+f_{1}(t-5)+f_{1}(t-10)+\cdots ~~~~(1)
\end{eqnarray}
図2は,図3のように分解できるので,
\begin{eqnarray}
f_{1}(t) = u(t)-u(t-3)
\end{eqnarray}
となる。ラプラス変換すると次のようになる。
\begin{eqnarray}
F_{1}(s) = \frac{1}{s}- \frac{1}{s}e^{-3s}= \frac{1-e^{-3s}}{s}~~~~(2)
\end{eqnarray}
次に,(1)式をラプラス変換すると
\begin{eqnarray}
F(s)&=& F_{1}(s)+e^{-5s}F_{1}(s)+\cdots\nonumber\\
&=& F_{1}(s)\left(1+e^{-5s}+\cdots \right)~~~~(3)
\end{eqnarray}
となる。(3)-(3)$\times e^{-5s}$ を求めると
\begin{eqnarray}
F(s)-e^{-5s}F(s) &=& F_{1}(s)\nonumber\\
F(s)(1-e^{-5s}) &=& F_{1}(s)\nonumber\\
F(s) &=& \frac{F_{1}(s)}{1-e^{-5s}}
\end{eqnarray}
よって,(2)式を代入すると次のようになる。
\begin{eqnarray}
F(s) &=&
\frac{1}{1-e^{-5s}}
\frac{1-e^{-3s}}{s}
\end{eqnarray}
%=image:/media/2014/11/22/141660002156341700.png:図2
%=image:/media/2014/11/22/141660002262122500.png:図3