例題集

周期関数

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図1に示す周期関数(周期$5$)のラプラス変換を求めよ。 %=image:/media/2014/11/22/141660002053775900.png:図1
図1は,図2の波形 $f_{1}(t)$ が時間 $5$ 遅れて 足されていると考えることができる。 \begin{eqnarray} f(t) = f_{1}(t)+f_{1}(t-5)+f_{1}(t-10)+\cdots ~~~~(1) \end{eqnarray} 図2は,図3のように分解できるので, \begin{eqnarray} f_{1}(t) = u(t)-u(t-3) \end{eqnarray} となる。ラプラス変換すると次のようになる。 \begin{eqnarray} F_{1}(s) = \frac{1}{s}- \frac{1}{s}e^{-3s}= \frac{1-e^{-3s}}{s}~~~~(2) \end{eqnarray} 次に,(1)式をラプラス変換すると \begin{eqnarray} F(s)&=& F_{1}(s)+e^{-5s}F_{1}(s)+\cdots\nonumber\\ &=& F_{1}(s)\left(1+e^{-5s}+\cdots \right)~~~~(3) \end{eqnarray} となる。(3)-(3)$\times e^{-5s}$ を求めると \begin{eqnarray} F(s)-e^{-5s}F(s) &=& F_{1}(s)\nonumber\\ F(s)(1-e^{-5s}) &=& F_{1}(s)\nonumber\\ F(s) &=& \frac{F_{1}(s)}{1-e^{-5s}} \end{eqnarray} よって,(2)式を代入すると次のようになる。 \begin{eqnarray} F(s) &=& \frac{1}{1-e^{-5s}} \frac{1-e^{-3s}}{s} \end{eqnarray} %=image:/media/2014/11/22/141660002156341700.png:図2 %=image:/media/2014/11/22/141660002262122500.png:図3