例題集

流体の静力学(11) 浮揚体の安定性

適用レベル   難易度: ★★★
図のように直方体が水に浮かんでいる. この浮揚体の比重を$s$として,安全性を調べたい. 次の問いに答えよ. %=image:/media/2015/01/15/142125797922791000.png: $(1)$ この浮揚体に働く力のつり合い式を立てて,喫水$d$が$d=hs$となることを導け. ただし,水の密度$\rho _w$,重力加速度$g$とする. $(2)$ 浮力の中心Cと重心Gとの距離$\overline{CG}$を,$h$と$s$を用いて表現せよ. $(3)$ メタセンタの高さ$\overline{GM}$を,$b$,$h$,$s$を用いて表現せよ. ただし,$o-x$軸まわりの浮揚面($lb$面)まわりの断面$2$次モーメント$I$は,$I=lb^3/12$である. $(4)$ 浮揚体の比重$s=0.6$,寸法$l=10\,\rm{m}$,$b=6\,\rm{m}$,$h=3\,\rm{m}$として,この浮揚体の安定性を調べよ. $(5)$ $o-x$軸まわりに$10^\circ$傾けたときの復元偶力$T$を求めよ.
$(1)$ 重力と浮力のつり合いより, \[ \rho_wsgbhl=\rho_wgbdl\\ sh=d\\ \therefore d=hs \] $(2)$ \[\begin{align} \overline{GC} &=\frac{h}{2}-\frac{d}{2}\\ &=\frac{h}{2}-\frac{hs}{2}\\ &=\frac{h}{2}(1-s) \end{align}\] $(3)$ \[\begin{align} \overline{GM} &=\frac{I}{V'}-\overline{GC}\\ &=\frac{\frac{lb^3}{12}}{bdl}-\frac{h}{2}(1-s)\\ &=\frac{b^2}{12hs}-\frac{h}{2}(1-s) \end{align}\] $(4)$ \[\begin{align} \overline{GM} &=\frac{b^2}{12hs}-\frac{h}{2}(1-s)\\ &=\frac{6^2}{12\times 3\times0.6}-\frac{3}{2}(1-0.6)\\ &=1.0666\ldots \end{align}\] \[ \therefore \overline{GM}>0より安定である \] $(5)$ \[\begin{align} T&=W\overline{GM}\sin10^\circ\\ &=600\times (3\times 6 \times 10)\times 9.8 \times 1.0666 \times \sin10^\circ\\ &=196029\ldots\\ &=196\,\rm{kN} \end{align}\]