例題集

単純梁の曲げモーメントとせん断力(集中荷重)

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図のような単純ばりに集中荷重Pが加わったときの$x$の位置における曲げモーメント$M(x)$とせん断力$Q(X)$を求めよ。 %=image:/media/2015/02/09/142343756845062100.png:
C点にかかる荷重を水平方向と垂直方向に三角関数で分割すると、 水平方向の荷重$P_H$は左向きに \begin{equation} \cos60°=\frac{P_H}{4} \\ P_H=4×\cos60°=4×1/2=2 \left[\textrm{t}\right] \end{equation} となり、垂直方向の荷重$P_V$は、 \begin{equation} \sin60°=\frac{P_V}{4} \\ P_V=4×\sin60°=4×\sqrt{3}/2=2\sqrt{3} \left[\textrm{t}\right] \end{equation} となる。 ここで、水平反力$H_A$は力のつりあいにより \begin{equation} H_A=P_V=2 \end{equation} となり、集中荷重$P_V$がはりの中心にかかっていることから、二つの反力$V_A$と$V_B$は等しく、力のつりあいから \begin{equation} V_A=V_B=\frac{P_V}{2}=\sqrt{3} \end{equation} となる。 A-C間の曲げモーメント$M(x)_{AC}$: 位置$x$における曲げモーメントはA点にかかる垂直反力$V_A$だけが影響するため, \begin{equation} M(x)_{AC}=V_A×x=\sqrt{3}x \end{equation} となり, C-B間の曲げモーメント$M(x)_{CB}$: \begin{equation} M(x)_{CB}=V_A×x-P_V×x=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}x=-\sqrt{3}x \end{equation} となる。 せん断力は上記の曲げモーメントをそれぞれ微分して, \begin{equation} Q(x)_{AC}=M'(x)_{AC}=\sqrt{3} \\ Q(x)_{CB}=M'(x)_{CB}=-\sqrt{3} \end{equation} となる。