例題集

理想気体の性質と状態変化(11) 断熱変化

適用レベル   難易度: ★★★
比熱比$\kappa=1.4$,ガス定数$R= 0.287 \,\rm{kJ/(kg \cdot K)}$の理想気体$0.1\,\rm{kg}$が断熱膨張する. 初めの容積$V_1= 0.02\,\rm{m^3}$,圧力$p_1=0.6\,\rm{MPa}$であり,終わりの圧力が$p_2=0.1\,\rm{MPa}$となった. 次の問いに答えよ。 ただし,端数については有効数字$4$桁とせよ. $(1)$ 外部にした工業仕事$L_{12}$を求めよ. $(2)$ 絶対仕事$W_{12}$を求めよ. $(3)$ 温度低下$\Delta T= T_1 - T_2$を求めよ. ヒント : $T_2= T_1 \left( \frac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}} $
$(1)$ \[ \begin{align} L_{12} &= \frac{1.4}{0.4} \times 0.6 \times 10^6 \times 0.02 \times \left\{ 1-\left( \frac{0.1}{0.6} \right)^{\frac{0.4}{1.4}} \right\} \\ &= \frac{1.4}{0.4} \times 0.6 \times 10^6 \times 0.02 \times \left( 1-0.589337 \right) \\ &=16827.8 \\ \therefore &=16.83 \ \rm{kJ} \end{align} \] $(2)$ \[ \begin{align} W_{12} &= \frac{L_{12}}{\kappa}\\ &= \frac{16827.8}{1.4} \\ \therefore &=12.02 \ \rm{kJ} \end{align} \] $(3)$ \[ \begin{align} T_{1} &= \frac{p_1 V_1}{mR} \\ &= \frac{0.6 \times 10^6 \times 0.02}{0.1 \times 0.287 \times 1000} \\ &=418.118 \\ &=418.12 \ \rm{K} \end{align} \] \[ \begin{align} T_{2} &= T_1\left( \frac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}} \\ &= 418.12 \left( \frac{1}{6} \right)^{\frac{0.4}{1.4}} \\ &=250.59 \ \rm{K} \end{align} \] \[ \therefore \Delta T = T_1 - T_2 = 167.8 \ \rm{K} \]