層流の円管内流れについて，以下の問いを答えなさい． $(1)$ 下図は，半径$r_0$の円管内にある微小円柱(半径$r$，長さ$dx$)を表している． 図中の$[a]$に当てはまる適切な式を示しなさい． $(2)$ 式$(3)$は，下図に示した微小円柱の力の釣り合いを表した式である． 空欄に当てはまる適切な式を導出しなさい． ただし，式$(3)$中の$[a]$は下図の$[a]$と対応している． \[ ([b])p+([c])\left(p+([a])\right)-([d])\tau=0\hspace{30px}\cdots(3) \] %=image:/media/2015/01/21/142185094111375400.png: $(3)$ 問$(2)$で得られた数式を変形し，せん断応力$\tau$に関する式を示しなさい． ただし，「圧力$p$は$x$方向のみの関数とする」という仮定を考慮すること． $(4)$ 式$(1)$に示される粘性法則は，壁面からの距離$y$に関する微分になっている． 式$(1)$を半径$r$に関する微分の式に変形し，その式を示しなさい． ただし，「速度$u$は$y$方向のみの関数とする」という仮定を考慮すること． $(5)$ 問$(3)$と$(4)$で得られた式を用いて，$du/dr$に関する式を示しなさい． $(6)$ 式$(5)$で得られた式を積分し，$u$に関する式を導出しなさい ただし，積分定数は$C$とし，導出の仮定を必ず示すこと． $(7)$ 積分定数$C$ を決定するための境界条件を$1$つ示しなさい． $(8)$ 問$(6)$の$u$ に関する式を，問$(7)$の境界条件を考慮して積分定数を用いずに示しなさい． $(9)$ 問$(8)$で得られた$u$ の式に関して，最大速度を得る条件は極値が$0$ になることである． この関係を用いて，最大流速が得られる$r$と最大流速$u_{max}$ を示しなさい． $(10)$ 円管路内を流れる流量$Q$ を求めたい． 以下の$(\rm{I})$から$(\rm{IV})$に当てはまる適切な式を示しなさい． 円管内に下図 に示すような微小な円環を考える．この面積は， \[ dA=(\rm{I})dr\hspace{30px}\cdots(4) \] の形で示すことができる．管路全体を通る流量$Q$は，式$(4)$に問$(6)$で得られた式を代入し，$r = 0$ から$\left(\rm{II}\right)$まで積分すると求めることができる． 導出の過程を簡略的に書けば，以下のようになる． \[ Q=\int_0^{(\rm{II})}dQ=\int_0^{(\rm{II})}u\cdot dA=\int_0^{(\rm{II})}u\cdot (\rm{I})dr=\frac{\pi}{(\rm{III})}\left(-\frac{dp}{dx}\right)(\rm{II})^{(\rm{IV})}\cdots(5) \] %=image:/media/2015/01/21/142185094212356300.png: