例題集

引張と圧縮(2)

理解レベル   難易度: ★★
図のような等脚台形の形状をもつ板材が軸引張荷重$P$を受けるときの伸び量$\lambda$を求めたい. ただし,材料のヤング率を$E$とする. $(1)$ $\rm{A}$断面から任意の位置$x$における断面積$A_{x}$を答えよ. $(2)$ $\rm{A}$断面から任意の位置$x$において幅$d_{x}$の微小要素を考える. この微小要素の伸び量$d\lambda$を答えよ. $(3)$ $P=3000 \rm{N}$,$L=1000 \rm{mm}$,$E=206 \rm{GPa}$,$H=30 \rm{mm}$,$h=20 \rm{mm}$,$t=5 \rm{mm}$のとき,板材全体の伸び量$\lambda$はいくらか. %=image:/media/2015/01/22/142192661772360400.png:
$(1)$ \[ \left(h+\frac{H-h}{L}x\right)t \] $(2)$ $x$の位置における微小要素の伸びは, \begin{align} d\lambda&=\frac{Pdx}{A_{x}E}\\ &=\frac{P}{\left(h+\frac{H-h}{L}x\right)tE}dx \end{align} $(3)$ 全体の伸びは積分すれば良い \begin{align} \lambda&=\int_0^Ld\lambda=\int_0^L\frac{P}{\left(h+\frac{H-h}{L}x\right)tE}dx\\ &=\frac{P}{tE}\int_0^L\frac{1}{{\left(h+\frac{H-h}{L}x\right)}}dx\\ &=\frac{P}{tE}\left[\log_{e}\left(h+\frac{H-h}{L}x\right)\frac{L}{H-h}\right]_0^L\\ &=\frac{P}{tE}\left\{\log_eH\frac{L}{H-h}-\log_eh\frac{L}{H-h}\right\}\\ &=\frac{PL}{tE}\frac{\log_e\frac{H}{h}}{H-h}\\ &=\frac{3000\times1}{\left(5\times10^{-3}\right)\times206\times10^9}\times\frac{\log_e\frac{30\times10^{-3}}{20\times10^{-3}}}{\left(30\times10^{-3}\right)-\left(20\times10^{-3}\right)}\\ &=1.18\times10^{-4}\ \textrm{m} \end{align} \end{enumerate}