$(1)$ ばねの静的たわみは \[ \delta＝l_0-l_x ＝ 0.40\,\rm{m}－0.15\,\rm{m} ＝ 0.25\,\rm{m} \] ばねこわさの定義(単位長さ伸縮させるために必要な力)より \[ k ＝ \frac{w}{\delta}＝ \frac{2000\,\rm{N}}{0.25\,\rm{m}} ＝ 8000\,\rm{N/m}＝ 8\,\rm{kN/m} \] $(2)$ 質量は \[ m ＝\frac{ 2000\,\rm{N}}{9.81\,\rm{m/s^2}} ＝ \frac{2000\,\rm{kg\cdot m/s^2}} {9.81\,\rm{m/s^2}} ＝ 203.8\,\rm{kg} \] 物体が$y$軸方向に直線運動しており，時刻$t$で加速度$\ddot{x}$を得るためには，質量$m$に動的力が作用している． そのとき変位$x$ならば，ばねの復元力は$－kx$ゆえ，運動方程式は， \[ m\ddot{x} ＝－kx\\ m\ddot{x} ＋kx ＝0\\ \ddot{x} ＋\left(\frac{k}{m}\right)x ＝０\\ \ddot{x}＋\omega_n^2 x ＝０ \] 固有角振動数は \[\begin{align} \omega_n＝\sqrt{\frac{k}{m}} &=\sqrt{\frac{8000\,\rm{N/m}}{203.8\,\rm{kg}}}\\ &＝\sqrt{\frac{8000 \,\rm{\left(kg\cdot m/s^2 \right)/m}}{203.8\,\rm{kg}}} \\ &=\sqrt{39.25\,\rm{1/s^2}} \\ &= 6.265\,\rm{rad/s}\\ &＝ 6.27\,\rm{rad/s} \end{align}\] 固有振動数$f_n$は \[ f_n ＝\frac{\omega_n}{2\pi} ＝ \frac{6.265\,\rm{rad/s}}{2\pi\,\rm{rad}} ＝0.9971\,\rm{Hz}＝ 0.997 \,\rm{Hz} \] $(2)$別解 \[ (1)より \ \delta＝\frac{w}{k}=\frac{mg}{k} \] \[\begin{align} \omega_n &=\sqrt{\frac{k}{m}}\\ &=\sqrt{\frac{g}{\delta}}\\ &=\sqrt{\frac{9.81\,\rm{m/s^2}}{0.25\,\rm{m}}} \\ &=\sqrt{39.24\,\rm{m/s^2}} \\ &＝6.264\,\rm{rad/s} \end{align}\] 静的知識を混同して勘違いする例が多いので，この考え方は使わないこと．