長方形断面であるため,幅$b_{z_1}$はどこをとっても$b$である． 微小要素を$z_1$から$h/2$まで積分する． \[ \begin{align} \tau_{xz}&=\frac{V}{b_{z_1}I_y}\int_{z_1}^{h_1}b_zzdz=\frac{V}{b\left(\frac{1}{12}bh^3\right)}\int_{z_1}^{\frac{h}{2}}bzdz\\ &=\frac{12V}{b^2h^3}b\int_{z_1}^\frac{h}{2}zdz\\ &=\frac{12V}{bh^3}\left[\frac{1}{2}z^2\right]_{z_1}^{\frac{h}{2}}\\ &=\frac{3}{2}\frac{V}{bh}\left\{1-\left(\frac{2_{z_1}}{h}\right)^2\right\}\\ \end{align} \] $z_1=0$を代入して最大せん断応力を求める． \[ \tau_{xz,z_1=0}=\frac{3}{2}\left(\frac{V}{bh}\right) \] ここで,平均せん断応力は$V/bh$で求まることから, \[ \tau_{xz,z_1=0}=\frac{3}{2}\left(\frac{V}{bh}\right)=\frac{3}{2}\tau_{mean} \] 証明終わり