例題集

ひずみエネルギー(2)

理解レベル   難易度: ★★
図のような一様断面をもつ不静定$\rm{AB}$ばりがある. 次の各問に答えよ. %=image:/media/2015/01/22/142192690823962400.png: $(1)$ 曲げによるひずみエネルギー$U$を求める一般公式を記述せよ(はりの断面が一様でない場合にも適用できる形で表現せよ). $(2)$ 区間$\rm{AC}$,および$\rm{CB}$の曲げモーメントをそれぞれ求めよ. なお,支点反力$R_{\textrm{C}}$はそのまま用いて良い. $(3)$ カスティリアノの定理について,公式を記述した上で,さらに簡単な文章で説明せよ. $(4)$ 支点$\rm{C}$と点$\rm{B}$が同一高さのとき,$R_{\textrm{C}}$およびはり先端の変位$\delta_{\textrm{A}}$を求めよ. $(5)$ 支点$\rm{C}$を押し上げて,点$\rm{A}$と点$\rm{B}$とが同一高さになるとき,$R_{\textrm{C}}$および点$\rm{C}$の変位$\delta_{\textrm{C}}$を求めるには,どのような関係式を解けば良いかを記述して答えよ.
$(1)$ \[ U=\int_0^l\frac{M^2}{2EI}dx \] $(2)$ \[\begin{align} &\textrm{AC}間(0\leqq x\leqq\frac{l}{3})\hspace{20pt}M=-Px\\ &\textrm{CB}間(\frac{l}{3}\leqq x\leqq l)\hspace{20pt}M=-Px+R_c\left(x-\frac{l}{3}\right) \end{align}\] $(3)$ \[ \delta=\frac{\partial U}{\partial P}\] ひずみエネルギー$U$を外力$P$で偏微分すると,外力$P$の負荷されている点の負荷方向の変位が求まる. $(4)$ $\delta_c=0$を解けば良い \[\begin{align} \delta_c&=\frac{\partial U}{\partial R}\\ &=\frac{1}{EI}\int_0^lM\frac{\partial M}{\partial R}dx\\ &=\frac{1}{EI}\left\{\int_0^{\frac{l}{3}}(-Px)\times0\times dx+\int_{\frac{l}{3}}^l\left(-P_x+R_c\left(x-\frac{l} {3}\right)\right)\left(x-\frac{l}{3}\right)dx\right\}\\ &=\frac{1}{EI}\left[-\frac{P}{3}x^3+\frac{Pl}{6}x^2+R_c\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}lx^2+\frac{l^2}{9}x\right)\right]_{\frac{l}{3}}^l\\ &=\frac{l^3}{EI}\left(\frac{-756}{4374}P+R_c\frac{8}{81}\right)\\ &=0 \end{align}\] より\[ R_c=\frac{756}{4374}P\times\frac{81}{8}=\frac{7}{4}P \] $(5)$ \[ \delta_A=\frac{\partial U}{\partial P}=0\\ \delta_C=\frac{\partial U}{\partial R_c}\hspace{20px}\\ を解く\]