% 関数 $y=f(x)$ は開区間で定義されているとする。 $I$ の任意の点 $x$ に対して, 極限値 % \begin{align*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align*} % が存在するとき, $f(x)$ は区間 $I$ で\ommindex{微分可能}{びぶんかのう}であるという。 $y=f(x)$ が区間 $I$ で微分可能であるとき, この極限値で定められる関数を % \begin{align*} y', \quad f'(x), \quad \frac{dy}{dx}, \quad \frac{df}{dx} \end{align*} % などと表し, これを $y=f(x)$ の\ommindex{導関数}{どうかんすう}という。 %

% 関数の導関数について, 次の公式が成り立つ。 ■　線形性 % \begin{align*} & \left\{f(x)\pm g(x)\right\}'=f'(x)\pm g'(x)\quad (\mbox{複号同順}) \\ & \left\{\alpha f(x)\right\}'=\alpha f'(x) \end{align*} % ■　基本的な関数の導関数 % \begin{align*} & \left(x^{\alpha}\right)'=\alpha x^{\alpha-1} \\ & \left(e^{x}\right)'=e^x \\ & \left(\log\left|x\right|\right)'=\frac{1}{\,x\,} \\ & \left(\sin{x}\right)'=\cos{x} \\ & \left(\cos{x}\right)'=-\sin{x} \\ & \left(\tan{x}\right)'=\frac{1}{\,\cos^{2}{x}\,} \\ & \left(\arcsin{x}\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ & \left(\arccos{x}\right)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ & \left(\arctan{x}\right)'=\frac{1}{x^2+1} \end{align*} % ■　関数の積と商の導関数 % \begin{align*} & \left\{f(x)g(x)\right\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\ & \left\{\frac{f(x)}{\,g(x)\,}\right\}' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\,\left\{g(x)\right\}^2\,} \end{align*} % ■　合成関数の導関数 % \begin{align*} & \frac{dy}{\,dx\,}=\frac{dy}{\,du\,}\frac{du}{\,dx\,} \end{align*} %

% 関数 $y=f(x)$ が開区間 $I$ で微分可能であるとき, $I$ の点 $a$ に対して, $y=f(x)$ の導関数 $f'(x)$ の $x=a$ における値 $f'(a)$ を $y=f(x)$ の $x=a$ における\ommindex{微分係数}{びぶんけいすう}という。 微分係数は, $f'(a)$ の他に % \begin{align*} y'(a), \quad \left.\frac{df}{dx}\right|_{x=a}, \quad \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} \end{align*} % などと表す。 微分係数 $f'(a)$ は, $x=a$ から $x=a+h$ までの\ommindex{平均変化率}{へいきんへんかりつ} % \begin{align*} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{align*} % の $h\to 0$ としたときの極限値 % \begin{align*} f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{align*} % であり, $f(x)$ の $x=a$ における\ommindex{変化率}{へんかりつ}を表す。 %

関数 $y=f(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続, $(a,b)$ で微分可能であるとき, % \begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c), \quad a<c<b \end{align*} % を満たす $c$ が存在する。 このことから次のこと導かれる。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\mbox{区間 $(a,b)$ で,} \quad f'(x)>0 \ \Longleftrightarrow \ \mbox{$f(x)$ は単調増加}$ \item[(2)] $\mbox{区間 $(a,b)$ で,} \quad f'(x)<0 \ \Longleftrightarrow \ \mbox{$f(x)$ は単調減少}$ \end{enumerate} %

% 関数 $y=f(x)$ が開区間 $I$ で微分可能であるとき, % \begin{align*} dy=f'(x)\,dx \end{align*} % を, $y=f(x)$ の\ommindex{微分}{びぶん}という。

% $x$ の値が $dx$ だけ変化したときの $y$ の変化量を $\varDelta{y}$ で表す。 すなわち % \begin{align*} \varDelta{y}=f(x+dx)-f(x) \end{align*} % である。 $\left|dx\right|$ が小さいとき, 導関数の定義から % \begin{align*} \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}≒f'(x) \end{align*} % が成り立つ。 したがって, $\varDelta{y}$ の近似式 % \begin{align*} \varDelta{y} &= \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\,dx \\ &= f'(x)\,dx \end{align*} % が得られる。 これを\ommindex{微分による変化量の近似}{びぶんによるへんかりょうのきんじ} という。

% 関数 $y=f(x)$ が $n$ 回微分可能であるとき, $f(x)$ を $n$ 回微分して得られる関数を % \begin{align*} f^{(n)}(x), \quad y^{(n)}, \quad \frac{d^n y}{dx^n} \end{align*} % などと表し, これを\ommindex{$\vt{n}$階導関数}{nかいどうかんすう}という。 2階導関数は $f''(x)$, 3階導関数は $f'''(x)$ と書くこともある。 2階以上の導関数を\ommindex{高階導関数}{こうかいどうかんすう}という。 2階導関数と関数の凹凸について, 次のことが成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\mbox{区間 $(a,b)$ で,} \quad f''(x)>0 \ \Longleftrightarrow \ \mbox{$f(x)$ は下に凸}$ \item[(2)] $\mbox{区間 $(a,b)$ で,} \quad f''(x)<0 \ \Longleftrightarrow \ \mbox{$f(x)$ は上に凸}$ \end{enumerate} %