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数学・工学事典 / 数学 / 基礎数学 / 指数関数・対数関数
指数法則
指数法則
%
$a$ を正の定数とする。
実数 $x$ に対して,
$a^x$ の値を,
次の規則が成り立つように定める。
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\begin{enumerate}
\item[$\bullet$]
任意の実数 $x$ に対して $a^x>0$ である。
\item[$\bullet$]
$a^x$ は $x$ について連続である。
\item[$\bullet$]
正の数 $a$, $b$ と任意の実数 $r$, $s$ について次が成り立つ。
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\begin{enumerate}
\item[(1)]
$a^r a^s=a^{r+s}$
\item[(2)]
$\displaystyle \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$
\item[(3)]
$\left(a^r\right)^s=a^{rs}$
\item[(4)]
$\left(ab\right)^r=a^{r}b^{r}$
\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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(3) の規則を\ommindex{指数法則}{しすうほうそく}という。
ここで,
``$a^x$ は $x$ について連続である''ということは,
$r$ が $x$ に限りなく近づくとき,
$a^r$ は $a^x$ に限りなく近づくことを意味する。
このことから,
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$a^0=1$
\item[(2)]
$\displaystyle a^{-1}=\frac{1}{\,a\,}$
\item[(3)]
$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$
\end{enumerate}
が成り立つ。
ここで,
$\sqrt[n]{a}$ は``$n$ 乗すると $a$ になる正の数''を表す。
応用例
- 熱力学の第二法則(3) カルノーサイクル (熱力学 (V-A-4 熱流体))
- 流体の動力学(7) 圧縮性流体の運動方程式 (流れ学 (V-A-4 熱流体))
- 理想気体の性質と状態変化(9) 断熱変化 (熱力学 (V-A-4 熱流体))
- 理想気体の性質と状態変化(10) 断熱変化 (熱力学 (V-A-4 熱流体))
- 理想気体の性質と状態変化(11) 断熱変化 (熱力学 (V-A-4 熱流体))
- 理想気体の性質と状態変化(13) ポリトロープ変化 (熱力学 (V-A-4 熱流体))
指数関数
指数関数
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$a$ を $1$ と異なる正の定数とする。
このとき,
関数
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\begin{align*}
y=a^x
\end{align*}
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を $a$ を\ommindex{底}{てい}とする
\ommindex{指数関数}{しすうかんすう}という。
%
指数関数のグラフ
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$a>1$ のとき,
指数関数 $y=a^x$ のグラフは次の性質をもつ。
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\begin{enumerate}
\item[(1)]
点 $(0,1)$, $(1,a)$ を通る。
\item[(2)]
全区間で単調増加であり,
$x$ の値が限りなく大きくなると $y$ の値は限りなく大きくなる。
\item[(3)]
全区間で下に凸である。
\item[(4)]
$x$ 軸が漸近線である。
$x$ が限りなく小さくなると $y$ は限りなく $0$ に近づく。
\item[(5)]
$y=a^x$ と $y=a^{-x}$ のグラフは $y$ 軸に関して対称である。
\end{enumerate}
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応用例
- 1次遅れ系のステップ応答 (計測制御工学)
- ふく射伝熱(1) ふく射の基本法則 (伝熱工学(V-A-4 熱流体))
- 対流熱伝達(3) 円管内の対流熱伝達 (伝熱工学(V-A-4 熱流体))
- 管型反応器の2次反応による反応器体積と反応率 (反応工学)
対数
対数
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$a$ は $1$ と異なる正の定数とする。
$y=a^x$ を満たす $x$ の値を $x=\log_{a}{y}$ とかき,
これを $a$ を\ommindex{底}{てい}とする $y$ の
\textbf{対数}{たいすう}という。
また,
$y$ を $\log_{a}{y}$ の\ommindex{真数}{しんすう}という。
真数はつねに正である。
これを\ommindex{真数条件}{しんすうじょうけん}という。
対数の値を求める上で,
次の式は重要である。
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\begin{align*}
\log_{a}a^{p}=p
\end{align*}
%%
対数の計算公式
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$a$, $M$, $N$ を $a\ne 1$ を満たす正の数とするとき,
次の性質が成り立つ。
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\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\log_{a}{M}+\log_{a}{N}=\log_{a}{MN}$
\item[(2)]
$\displaystyle \log_{a}{M}-\log_{a}{N}=\log_{a}\frac{M}{N}$
\item[(3)]
$r\log_{a}{M}=\log_{a}{M^r}$
\end{enumerate}
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底の変換公式
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$a$, $M$ を $a\ne 1$ を満たす正の数とするとき,
$1$ と異なる任意の正の数 $b$ に対して,
次の性質が成り立つ。
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\begin{align*}
\log_{a}{M}=\frac{\log_{b}{M}}{\log_{b}{a}}
\end{align*}
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この式は,
左辺の対数の底 $a$ を $b$ に変えるものとなっており,
これを\ommindex{底の変換公式}{ていのへんかんこうしき}という。
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常用対数
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底を $10$ とする対数を\ommindex{常用対数}{じょうようたいすう}という。
$1\le M<10$ を真数とする対数の値 $\log_{10}{M}$ の値は
一覧表となっており,
これを\ommindex{常用対数表}{じょうようたいすうひょう}という。
常用対数表は数値計算に用いられる。
たとえば,
$M=3^{100}$ を計算したいとする。
常用対数表から,
$\log_{10}{3}≒0.4771$ であり,
$\log_{10}{5.13}≒0.71$ であることがわかるから,
対数の性質を用いると
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\begin{align*}
\log_{10}{3}^{100}
&=
100\log_{10}{3}
\\
&≒
100\cdot 0.4771
\\
&=
47.71
\\
&=
47+0.71
\\
&≒
\log_{10}{10^{47}}+\log_{10}{5.13}
\\
&=
\log_{10}{\left(5.13×10^{47}\right)}
\end{align*}
%
が得られる。
したがって,
$3^{100}≒5.13×10^{47}$ である。
%
応用例
- 一自由度系の振動(4) (機械力学(V-A-3 力学))
- 熱力学の第二法則(13) 理想気体のエントロピ変化 (熱力学 (V-A-4 熱流体))
- 熱力学の第二法則(14) サイクル(熱効率,p-v線図,T-s線図) (熱力学 (V-A-4 熱流体))
- 熱力学の第二法則(15) サイクル(熱効率,p-v線図,T-s線図) (熱力学 (V-A-4 熱流体))
- 熱力学の第二法則(17) 混合における有効エネルギ変化 (熱力学 (V-A-4 熱流体))
- 熱力学の第二法則(18) 相変化における有効エネルギ変化 (熱力学 (V-A-4 熱流体))
- 引張と圧縮(2) (材料力学(V-A-3 力学))
- 管型反応器の2次反応による反応率と反応器体積 (反応工学)
- 理想気体の性質と状態変化(9) 断熱変化 (熱力学 (V-A-4 熱流体))
対数関数
対数関数
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$a$ を $1$ と異なる正の定数とする。
このとき,
$x>0$ に対して定義される関数
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\begin{align*}
y=\log_{a}{x}
\end{align*}
%
を $a$ を\ommindex{底}{てい}とする
\ommindex{対数関数}{たいすうかんすう}という。
対数の定義から
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\begin{align*}
\log_{a}{a^x}=x
, \quad
a^{\log_{a}{y}}=y
\end{align*}
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であるから,
$f(x)=\log_{a}{x}$ と $x=a^{y}$ は逆関数である。
対数関数のグラフ
%
$a>1$ のとき,
対数関数 $y=\log_{a}{x}$ は次の性質をもつ。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
点 $(1,0)$, $(a,1)$ を通る。
\item[(2)]
全区間で単調増加であり,
$x$ の値が限りなく大きくなると $y$ の値は限りなく大きくなる。
\item[(3)]
全区間で上に凸である。
\item[(4)]
$y$ 軸が漸近線である。
$x$ が限りなく $0$ に近づくと $y$ は限りなく小さくなる。
\item[(5)]
$y=\log_{a}{x}$ と $y=a^{x}$ のグラフは直線 $y=x$ に関して対称である。
\end{enumerate}
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応用例
- 情報量 (情報理論)
- 管型反応器の2次反応による反応器体積と反応率 (反応工学)
- 活性化エネルギー (指数関数) (化学工学)
- 熱力学の第二法則(12) 混合におけるエントロピ変化 (熱力学 (V-A-4 熱流体))
- レイノルズ数と摩擦係数 (べき関数) (化学工学)
- 熱力学の第二法則(19) 理想気体の有効エネルギ (熱力学 (V-A-4 熱流体))