ベクトル
ベクトル
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平面または空間の2点 A, B に対して,
AからBに向かう線分を\ommindex{有向線分}{ゆうこうせんぶん}ABといい,
点Aを\ommindex{始点}{してん},
点Bを\ommindex{終点}{しゅうてん}という。
また,
点 A から点 B に向かう方向をこの有向線分の\ommindex{向き}{むき}という。
平行移動によって重ね合わせることができる有向線分を
すべて等しいものと考え,
これを\ommindex{ベクトル}{べくとる}という。
有向線分ABの表すベクトルを $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ とかく。
ベクトルは,
終点と始点を指定しない場合には太文字 $\vt{a}$ や
矢印をつけた文字 $\overrightarrow{a}$ で表す。
$\vt{a}=\overrightarrow{\mbox{AB}}$ であるとき,
線分 AB の長さを $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ の$\textbf{大きさ}$といい,
$\left|\vt{a}\right|$ または
$\left|\overrightarrow{\mbox{AB}}\right|$ で表す。
大きさが $1$ のベクトルを\ommindex{単位ベクトル}{たんいべくとる}という。
また,
大きさが $0$ のベクトルを\ommindex{零ベクトル}{ぜろべくとる}といい,
$\vt{0}$ で表す。
零ベクトル向きは考えない。
$\vt{a}$ と同じ大きさで,
逆向きのベクトルを $\vt{a}$ の\ommindex{逆ベクトル}{ぎゃくべくとる}といい,
$-\vt{a}$ で表す。
したがって,
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\begin{align*}
\left|\vt{a}\right|=\left|-\vt{a}\right|
\end{align*}
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である。
また,
$\overrightarrow{\mbox{AB}}$ と $\overrightarrow{\mbox{BA}}$ は同じ大きさで,
逆向きであるから
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\begin{align*}
\overrightarrow{\mbox{BA}}=-\overrightarrow{\mbox{AB}}
\end{align*}
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が成り立つ。
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ベクトルの演算
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実数 $t$ とベクトル $\vt{a}$ に対して,
ベクトル $t\vt{a}$ を次のベクトルとする。
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\begin{enumerate}
\item[]
$t>0$ のとき,
$\vt{a}$ と同じ向きで,
大きさが $\left|\vt{a}\right|$ の $t$ 倍
\item[]
$t=0$ のとき,
零ベクトル $\vt{0}$
\item[]
$t<0$ のとき,
$\vt{a}$ と逆の向きで,
大きさが $\left|\vt{a}\right|$ の $\left|t\right|$ 倍
\end{enumerate}
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$t\vt{a}$ を,
$\vt{a}$ の\textbf{実数倍}または\textbf{スカラー倍}という。
とくに,
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\begin{align*}
(-1)\vt{a}=-\vt{a}
\end{align*}
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である。
$t\vt{a}$ の大きさは $\vt{a}$ の大きさの $\left|t\right|$ 倍であるから,
任意の実数 $t$ に対して
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\begin{align*}
\left|t\vt{a}\right|=|t|\left|\vt{a}\right|
\end{align*}
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が成り立つ。
また,
2つのベクトル $\vt{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}}$,
$\vt{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}}$ の\ommindex{和}{わ}を,
四角形 OACD が平行四辺形になる点を C として,
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\begin{align*}
\vt{a}+\vt{b}
=
\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}
=
\overrightarrow{\mbox{OC}}
\end{align*}
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と定める。
また,
\textbf{差} $\vt{a}-\vt{b}$ を,
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\begin{align*}
\vt{a}-\vt{b}=\vt{a}+(-\vt{b})
\end{align*}
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と定める。
点 B から点 A に向かうベクトル $\overrightarrow{\mbox{BA}}$ について,
$\overrightarrow{\mbox{BA}}=\overrightarrow{\mbox{OC}}$ であるから次が成り立つ。
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\begin{align*}
\overrightarrow{\mbox{BA}}
=
\overrightarrow{\mbox{OA}}-\overrightarrow{\mbox{OB}}
=
\vt{a}-\vt{b}
\end{align*}
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ベクトルの演算の性質
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$s$, $t$ を実数,
$\vt{a}$, $\vt{b}$, $\vt{c}$ をベクトルとするとき,
ベクトルの演算について次の性質が成り立つ。
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\begin{enumerate}
\item[(1)]
交換法則:
$\vt{a}+\vt{b}=\vt{b}+\vt{a}$
\item[(2)]
結合法則:
$s(t\vt{a})=(st)\vt{a}$
\item[(3)]
結合法則:
$(\vt{a}+\vt{b})+\vt{c}=\vt{a}+(\vt{b}+\vt{c})$
\item[(4)]
分配法則:
$t(\vt{a}+\vt{b})=t\vt{a}+t\vt{b}$
\item[(5)]
分配法則:
$(s+t)\vt{a}=s\vt{a}+t\vt{a}$
\end{enumerate}
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ベクトルの成分
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空間に座標が定められているとき,
$x$ 軸, $y$ 軸,
$z$ 軸の向きと同じ向きの単位ベクトルを,
それぞれ $\vt{i}$, $\vt{j}$, $\vt{k}$ と表す。
$\vt{i}$, $\vt{j}$, $\vt{k}$ を空間の
\ommindex{基本ベクトル}{きほんべくとる}という。
原点から点 A$(a_a,a_2,a_3)$ に向かうベクトルを
点 A の\ommindex{位置ベクトル}{いちべくとる}という。
点 A$(a_a,a_2,a_3)$ の位置ベクトル $\vt{a}$ は,
基本ベクトルを用いて,
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\begin{align*}
\vt{a}=a_1\,\vt{i}+a_2\,\vt{j}+a_3\,\vt{k}
\end{align*}
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と表すことができる。
$a_1$, $a_2$, $a_3$ をそれぞれ,
ベクトル $\vt{a}$ の $x$ 成分,
$y$ 成分,
$z$ 成分 といい,
これらをまとめてベクトル $\vt{a}$ の\ommindex{成分}{せいぶん}という。
$a_1$, $a_2$, $a_3$ を成分とするベクトルを
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\begin{align*}
\left(\begin{array}{c}
a_1 \\ a_2 \\ a_3
\end{array}\right),
\quad
\left(a_1, a_2, a_3\right)
\end{align*}
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と表すこともある。
1次独立と1次従属
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$n$ 個のベクトル $\vt{a}_1$, $\vt{a}_2$, ..., $\vt{a}_n$ に対して,
それらの定数倍の和
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\begin{align*}
x_1\vt{a}_1+x_2\vt{a}_2+\cdots +x_n\vt{a}_n
\end{align*}
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を,
$\{\vt{a}_1, \vt{a}_2, ..., \vt{a}_n\}$ の
\ommindex{線形結合}{せんけいけつごう}または
\ommindex{1次結合}{いちじけつごう}といい,
等式
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\begin{align*}
x_1\vt{a}_1+x_2\vt{a}_2+\cdots +x_n\vt{a}_n=\vt{0}
\quad \cdots \cdots \maru{1}
\end{align*}
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を\ommindex{線形関係式}{せんけいかんけいしき}または
\ommindex{1次関係式}{いちじかんけいしき}という。
$x_1=x_2=\cdots =x_n=0$ ならば,
線形関係式 \maru{1} は常にに成り立つ。
線形関係式 \maru{1} が $x_1=x_2=\cdots =x_n=0$ の
ときだけしか成り立たないとき,
$\{\vt{a}_1, \vt{a}_2, ..., \vt{a}_n\}$ は
\ommindex{線形独立}{せんけいどくりつ}または
\ommindex{1次独立}{いちじどくりつ}であるという。
線形独立でないとき,
すなわち,
$x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ のうち少なくとも1つが $0$ でないとき
\maru{1} が成り立つとき,
$\{\vt{a}_1, \vt{a}_2, ..., \vt{a}_n\}$ は
\ommindex{線形従属}{せんけいじゅうぞく}または
\ommindex{1次従属}{いちじじゅうぞく}であるという。
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応用例
- 流体の動力学(12) 運動量の法則 (流れ学 (V-A-4 熱流体))