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数学・工学事典 / 数学 / 基礎数学 / 数と式の計算
累乗根
平方根 (実数の―)
%
$a\ge 0$ に対して $x^2=a$ となる
負でない実数 $x$ を $a$ の\ommindex{平方根}{へいほうこん}といい,
平方根を $\sqrt{a}$ と表す。
したがって,
$a\ge 0$ のとき $\sqrt{a}\ge 0$ である。
負の数の平方根は,
実数の範囲では存在しない。
$\sqrt{a}$ を\ommindex{ルート}{るーと}$a$ といい,
$\sqrt{\ }$ を\ommindex{根号}{こんごう}という。
%
平方根 (複素数の―)
%
複素数 $a$ に対して $x^2=a$ となる複素数 $x$ を $a$ の
\ommindex{平方根}{へいほうこん}といい,
$\sqrt{a}$ と表す。
$a\ne 0$ のとき,
極形式で表された複素数 $a=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ に対して,
$\sqrt{a}$ は
%
\[
\sqrt{r}\left(
\cos{\dfrac{\theta}{2}}
+
i\sin{\dfrac{\theta}{2}}
\right),
\sqrt{r}\left\{
\cos{\left(\dfrac{\theta}{2}+\pi\right)}
+
i\sin{\left(\dfrac{\theta}{2}+\pi\right)}
\right\}
\]
%
の2個の複素数を表す。
$a=0$ のとき,
$a$ の平方根は $0$ だけである。
%
累乗根 (実数の―)
%
$n$ を2以上の自然数とする。
複素数 $a$ に対して,
$x^n=a$ となる複素数 $x$ を $a$ の
\ommindex{$\boldsymbol{n}$乗根}{nじょうこん}といい,
$\sqrt[n]{a}$ と表す。
$a\ne 0$ のとき,
極形式で表された複素数 $a=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ に対して,
$\sqrt[n]{a}$ は
%
\[
\sqrt{r}\left(
\cos{\dfrac{\theta+2k\pi}{n}}
+
i\sin{\dfrac{\theta+2k\pi}{n}}
\right)
\quad
(k=0,1,2,\ldots, n-1)
\]
%
の $n$ 個の複素数を表す。
2乗根は\ommindex{平方根}{へいほうこん},
3乗根は\ommindex{立方根}{りっぽうこん}という。
平方根, 立方根, 4乗根, $\ldots$ を総称して
\ommindex{累乗根}{るいじょうこん}という。
%
累乗根 (複素数の―)
%
$n$ を2以上の自然数とする。
複素数 $a$ に対して,
$x^n=a$ となる複素数 $x$ を $a$ の
\ommindex{$\boldsymbol{n}$乗根}{nじょうこん}といい,
$\sqrt[n]{a}$ と表す。
$a\ne 0$ のとき,
極形式で表された複素数 $a=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ に対して,
$\sqrt[n]{a}$ は
%
\[
\sqrt{r}\left(
\cos{\dfrac{\theta+2k\pi}{n}}
+
i\sin{\dfrac{\theta+2k\pi}{n}}
\right)
\quad
(k=0,1,2,\ldots, n-1)
\]
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の $n$ 個の複素数を表す。
2乗根は\ommindex{平方根}{へいほうこん},
3乗根は\ommindex{立方根}{りっぽうこん}という。
平方根, 立方根, 4乗根, \ldots を総称して
\ommindex{累乗根}{るいじょうこん}という。
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