指数法則

% $a$ を正の定数とする。 実数 $x$ に対して, $a^x$ の値を, 次の規則が成り立つように定める。 % \begin{enumerate} \item[$\bullet$] 任意の実数 $x$ に対して $a^x>0$ である。 \item[$\bullet$] $a^x$ は $x$ について連続である。 \item[$\bullet$] 正の数 $a$, $b$ と任意の実数 $r$, $s$ について次が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $a^r a^s=a^{r+s}$ \item[(2)] $\displaystyle \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$ \item[(3)] $\left(a^r\right)^s=a^{rs}$ \item[(4)] $\left(ab\right)^r=a^{r}b^{r}$ \end{enumerate} % \end{enumerate} % (3) の規則を\ommindex{指数法則}{しすうほうそく}という。 ここで, ``$a^x$ は $x$ について連続である''ということは, $r$ が $x$ に限りなく近づくとき, $a^r$ は $a^x$ に限りなく近づくことを意味する。 このことから, % \begin{enumerate} \item[(1)] $a^0=1$ \item[(2)] $\displaystyle a^{-1}=\frac{1}{\,a\,}$ \item[(3)] $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ \end{enumerate} が成り立つ。 ここで, $\sqrt[n]{a}$ は``$n$ 乗すると $a$ になる正の数''を表す。