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曲線の媒介変数表示

曲線の媒介変数表示

% $x=f(t)$, $y=g(t)$ $(\alpha\le t \le \beta)$ が変数 $t$ の関数であるとする。 $t$ の変化に伴って, 点 $(f(t),g(t))$ が曲線 C を描くとき, 関数の組 % \begin{align*} \left\{\begin{array}{l} x=f(t) \\ y=g(t) \end{array}\right. \quad (\alpha\le t \le \beta) \end{align*} % を, $\alpha\le t \le \beta$ を定義域とする 曲線 C の\ommindex{媒介変数表示}{ばいかいへんすうひょうじ}という。 このとき, 変数 $t$ を\ommindex{媒介変数}{ばいかいへんすう} または\ommindex{パラメータ}{ぱらめーた}という。 % % \begin{enumerate} \item[(1)] $\left\{\begin{array}{l} x=at+x_{0} \\ y=bt+y_{0} \end{array}\right.$ は, 傾きが $\displaystyle \frac{b}{a}$ で, 点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ を通る直線の媒介変数表示である。 \item[(2)] $\left\{\begin{array}{l} x=r\cos{t}+a \\ y=r\sin{t}+b \end{array}\right.\ (0\le t \le \pi)$ は, 点 $(a,b)$ を中心として, 半径が $r$ の円の媒介変数表示である。 \end{enumerate}

サイクロイド

% 直線上を円が滑らずに転がるとき, 円周上の点 P が描く軌跡を\ommindex{サイクロイド}{さいくろいど}という。 半径 $a$ の円が $x$ 軸上を滑らずに転がるとき, $t=0$ において原点にあった点が描くサイクロイドの媒介変数表示は % \begin{align*} \left\{\begin{array}{l} x=a(t-\sin{t}) \\ y=a(1+\cos{t}) \end{array}\right. \end{align*} % である。 % %=video:/media/2014/07/29/140662802622620400.jpg:

アステロイド

% 半径 $a$ の固定された円の内部を, 半径が $\displaystyle \frac{a}{4}$ の円が, 円に内接しながら滑らずに回転するとき, 円周上の点 P が描く軌跡を\ommindex{アステロイド}{あすてろいど}という。 原点を中心とした半径 $a$ の円の内部を転がる 半径 $\displaystyle \frac{a}{4}$ の円周上の, $t=0$ において $(a,0)$ にあった点が描くアステロイドの媒介変数表示は % \begin{align*} \left\{\begin{array}{l} x=a\cos^3{t} \\ y=a\sin^3{t} \end{array}\right. \end{align*} % である。 % %=video:/media/2014/08/01/140682098043159600.jpg: