ベクトル空間
ベクトル空間
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集合 $V$ に和と実数倍が定義されていて,
$V$ の任意の要素 $\vt{a}$, $\vt{b}$, $\vt{c}$ と,
任意の実数 $h$, $k$ に対して次が成り立つとき,
$V$ を\textbf{ベクトル空間}または\textbf{線形空間}という。
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\begin{enumerate}
\item[(1)]
交換法則：
$\vt{a}+\vt{b}=\vt{b}+\vt{a}$
\item[(2)]
結合法則：
$(\vt{a}+\vt{b})+\vt{c}=\vt{a}+(\vt{b}+\vt{c}),
\quad
(hk)\vt{a}=h(k\vt{a})$
\item[(3)]
分配法則：
$h(\vt{a}+\vt{b})=h\vt{a}+h\vt{b},
\quad
(h+k)\vt{a}=h\vt{a}+k\vt{a}$
\item[(4)]
$1\vt{a}=\vt{a}$
\item[(5)]
零ベクトルと呼ばれる要素$\vt{0}$ がただ1つ存在して,
$\vt{a}+\vt{0}=\vt{a}$
\item[(6)]
$\vt{a}$ の逆ベクトルと呼ばれる要素$-\vt{a}$ がただ1つ存在して,
$\vt{a}+(\vt{-a})=\vt{0}$
\end{enumerate}
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基底
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ベクトル空間 $V$ について,
次の性質を満たすベクトルの組 $(\vt{e}_1,\vt{e}_2,\ldots ,\vt{e}_n)$ を
$V$ の\ommindex{基底}{きてい}という。
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\begin{enumerate}
\item[(1)]
任意のベクトル $\vt{v}$ は $\vt{e}_1$,
$\vt{e}_2$, \ldots, $\vt{e}_n$ の1次結合として表すことができる。
\item[(2)]
$\vt{e}_1$,
$\vt{e}_2$, \ldots, $\vt{e}_n$ は1次独立である。
\end{enumerate}
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基底を作っているベクトルの個数を,
ベクトル空間 $V$ の\ommindex{次元}{じげん}という。
ここでは基底を $\mathbb{E}=(\vt{e}_1,\vt{e}_2,\ldots ,\vt{e}_n)$ などと
表す。
ベクトル $\vt{v}$ が
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\begin{align*}
\vt{v}=v_1\vt{e}_1+v_2\vt{e}_2+\cdots +v_n\vt{e}_n
\end{align*}
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と表されているとき,
$n$ 次元列ベクトル
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\begin{align*}
\left(\begin{array}{c}
v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n
\end{array}\right)
\end{align*}
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を $\vt{v}$ の\ommindex{成分}という。
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基底の変換
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ここでは基底を $\mathbb{E}$ などの文字で表す。
$\mathbb{E}=(\vt{e}_1,\vt{e}_2,\ldots ,\vt{e}_n)$ を
ベクトル空間の基底であるとする。
この基底を別の基底 $\mathbb{F}=(\vt{f}_1,\vt{f}_2,\ldots ,\vt{f}_n)$ に
取り替えることを\ommindex{基底の変換}{きていのへんかん}という。
基底 $\mathbb{F}$ の
各ベクトルは $\mathbb{E}=(\vt{e}_1,\,\vt{e}_2,\,\ldots,\vt{e}_n)$ の
1次結合によって
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\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{l}
\vt{f}_1=\vt{e}_1p_{11}+\vt{e}_2p_{21}+\cdots+\vt{e}_np_{n1}
\\
\vt{f}_2=\vt{e}_1p_{12}+\vt{e}_2p_{22}+\cdots+\vt{e}_np_{n2}
\\
\vdots
\\
\vt{f}_n=\vt{e}_1p_{1n}+\vt{e}_2p_{2n}+\cdots+\vt{e}_np_{nn}
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
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と表すことができる。
このとき,
行列
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\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{cccc}
p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n}
\\
p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn}
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
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を基底 $\mathbb{E}$ から基底 $\mathbb{F}$ への,
\ommindex{基底の変換行列}{きていのへんかんぎょうれつ}という。
部分空間
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ベクトル空間 $V$ の部分集合 $W$ が,
$V$ の演算によって,
条件
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\begin{align*}
k\in\mathbb{R}, \
\vt{p},\,\vt{q}\in W
\quad \mbox{ならば} \quad
k\vt{p}\in W, \ \vt{p}+\vt{q}\in W
\end{align*}
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を満たすとき,
$W$ は $V$ の\ommindex{部分空間}{ぶぶんくうかん}であるという。
部分空間とは,
それ自身がベクトル空間となっているような部分集合のことである。
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