行列式

% $1$ から $n$ までの自然数 $\{1,2,3,\ldots,n\}$ を 並べ替えて $(i,j,\ldots ,k)$ と表したものを, \ommindex{順列}{じゅんれつ}という。 とくに $(1,2,\ldots ,n)$ を \ommindex{自然な順列}{しぜんなじゅんれつ}という。 順列 $\sigma=(i,j,\ldots ,k)$ のうちの 2つの数を並べ替える操作を\ommindex{互換}{ごかん}という。 順列 $\sigma$ は何回かの互換を繰り返して 自然な順列にすることができる。 このときに必要な互換の回数を $k$ とするとき, $(-1)^k$ を\ommindex{順列の符号}{じゅんれつのふごう}といい, $\sgn{\sigma}$ と表す。 % $\sigma=(i,j,\ldots n)$ を $\{1,2,3,\ldots,n\}$ の順列とする。 $n$ 次正方行列 $A=\left(a_{ij}\right)$ の \ommindex{行列式}{ぎょうれつしき} $\det(A)$ を次のように定義する。 % \begin{eqnarray*} \det(A)=\sum_{\sigma}\sgn{\sigma}\cdot a_{1i}a_{2j}\cdots a_{nj} \end{eqnarray*} % ここで総和はすべての順列にわたるものとする。 行列 $A$ の行列式は % \begin{eqnarray*} \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|, \quad \left|A\right|, \quad \det(A), \quad \det\left(\vt{a},\vt{b},\vt{c}\right) \end{eqnarray*} % などとも表す。 $A$ が正方行列でないとき, $A$ の行列式は定義しない。 この節では行列はすべて正方行列であるとする。 2次, 3次正方行列の行列式について次が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| = \begin{array}{l} a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \end{array} }$ \item[(2)] $\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & b_{32} & c_{33} \end{array}\right| = \begin{array}{l} a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} \vspace{0.2em} \\ -a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} \end{array} }$ \end{enumerate} %

% 正方行列 $A$ の行列式は次の性質を持つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 1 つの列または行から定数をくくり出すことができる。 % \begin{eqnarray*} \left|\begin{array}{ccc} k\,a_1 & b_1 & c_1 \\ k\,a_2 & b_2 & c_2 \\ k\,a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right| = k\, \left|\begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right| \end{eqnarray*} % \item[(2)] 1 つの列または行が 2 つのベクトルの和であるとき, それぞれのベクトルを列ベクトルとする行列式の和に分解できる。 % \begin{eqnarray*} \left|\begin{array}{ccc} a_1+a'_1 & b_1 & c_1 \\ a_2+a'_2 & b_2 & c_2 \\ a_3+a'_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} a'_1 & b_1 & c_1 \\ a'_2 & b_2 & c_2 \\ a'_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right| \end{eqnarray*} % % \item[(3)] 2 つの列または行を交換すると符号が変わる。 % \begin{eqnarray*} \left|\begin{array}{ccc} b_1 & a_1 & c_1 \\ b_2 & a_2 & c_2 \\ b_3 & a_3 & c_3 \end{array}\right| = - \left|\begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right| \end{eqnarray*} % \item[(4)] $(1,1)$ 成分以外の第1列または第1行の成分が $0$ のとき, $(1,1)$ 成分と, 第1行, 第1列を取り除いた小行列の行列式との積に等しい。 とくに, 対角行列の行列式は対角成分の積に等しい。 % \begin{align*} \left|\begin{array}{ccc} a & b_1 & c_1 \\ 0 & b_2 & c_2 \\ 0 & b_3 & c_3 \end{array}\right| = a\,\left|\begin{array}{cc} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{array}\right| \end{align*} % \end{enumerate} % % さらに, 行列式について次の性質が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 行列 $A$ の行列式と, $A$ の転置行列の行列式は等しい。 $\left|{}^t\!A\right|=\left|A\right|$ % \item[(2)] 行列の積の行列式は, それぞれの行列の行列式の積に等しい。 % \begin{align*} \left|AB\right|=\left|A\right|\,\left|B\right| \end{align*} % \end{enumerate} % % 次の性質は, 行列が正則かどうか調べるう上で重要である。 % \begin{align*} \mbox{$A$ が正則} \iff |A|\ne 0 \end{align*} %

$A=\left(a_{ij}\right)$ を $n$ 次正方行列とする。 $n-1$ 次行列 $A_{ij}$ を, 行列 $A$ から第 $i$ 行と第 $j$ 列を除いてできる小行列とするとき, % \begin{eqnarray*} \widetilde{a}_{ij}=(-1)^{i+j}\left|A_{ij}\right| \end{eqnarray*} % を, $A$ の $(i,j)$ \ommindex{余因子}{よいんし}という。 行列式は次のように余因子を用いて表すことができる。 これを行列式の\ommindex{余因子展開}{よいんしてんかい}という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 第 $j$ 列についての余因子展開, % \begin{align*} \left|A\right| = a_{1j}\widetilde{a}_{1j} + a_{2j}\widetilde{a}_{2j} + \cdots + a_{nj}\widetilde{a}_{nj} \end{align*} % \item[(2)] 第 $i$ 行についての余因子展開, % \begin{align*} \left|A\right| = a_{i1}\widetilde{a}_{i1} + a_{i2}\widetilde{a}_{i2} + \cdots + a_{i1}\widetilde{a}_{in} \end{align*} % \end{enumerate}

$n$ 次正方行列 $A=\left(a_{ij}\right)$ の $(j,i)$ 余因子 $\widetilde{a}_{ji}$ を $(i,j)$ 成分とする 行列 $\widetilde{A}=\left(\widetilde{a}_{ji}\right)$ を $A$ の\ommindex{余因子行列}{よいんしぎょうれつ}という。 余因子行列について, % \begin{align*} A\widetilde{A}=\widetilde{A}A=|A|E \end{align*} % が成り立つ。 とくに, $A$ が正則であるとき, $A$ の逆行列は次のようになる。 % \begin{align*} A^{-1}=\frac{1}{|A|}\widetilde{A} \end{align*} %

$n$ 個の方程式からなる $n$ 元連立1次方程式 % $$ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & + & \cdots & + & a_{1n}x_n & = & p_1 \\ a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 & + & \cdots & + & a_{2n}x_n & = & p_2 \\ &&&& \vdots &&&& \\ a_{n1}x_1 & + & a_{n2}x_2 & + & \cdots & + & a_{nn}x_n & = & p_n \end{array} \right. $$ % を行列を使って % \begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & \vdots && \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} p_{1} \\ p_{2} \\ \vdots \\ p_{n} \end{array} \right) \end{eqnarray*} % と表す。 この式を簡単に % \begin{align*} A\vt{x}=\vt{p} \end{align*} % としたとき, $A$ を\ommindex{係数行列}{けいすうぎょうれつ}, $\vt{x}$ を\ommindex{未知数ベクトル}{みちすうべくとる}, $\vt{p}$ を\ommindex{定数項ベクトル}{ていすうこうべくとる}という。 このとき, 係数行列 $A$ が正則ならば (i) の解は一意的に定まり, その解は % \begin{eqnarray*} x_i=\dfrac{|A_i|}{|A|} \end{eqnarray*} % で与えられる。 ただし $A_i$ は $A$ の第 $i$ 列を定数項ベクトル $\vt{p}$ で 置き換えた行列である。 これを\ommindex{クラメルの公式}{くらめるのこうしき}という。