テイラー展開

% $f(x)$ は $x=a$ を含む開区間で何回でも微分可能であるとする。 このとき, 開区間の任意の点 $x$ において, $f(x)$ は, $a$ と $x$ の間にある数 $c$ を用いて % \begin{align*} f(x) &= f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 \\ &+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{f^{(n)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \end{align*} % と表すことができる。 これを\ommindex{テイラーの定理}{ていらーのていり}という。 この定理の右辺の $n$ 次多項式 % \begin{align*} f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \end{align*} % を\ommindex{テイラー多項式}{ていらーたこうしき}, 最後の項 % \begin{align*} R_{n+1}=\frac{f^{(n)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \end{align*} % を\ommindex{剰余項}{じょうよこう}という。 ここで, % \begin{align*} \lim_{n\to\infty}R_{n+1}=0 \end{align*} % であるとき, $f(x)$ は % \begin{align*} f(x) &= f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 \\ &+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots \end{align*} % と, 無限級数で表すことができる。 このとき $f(x)$ は $x=a$ のまわりで \ommindex{テイラー展開可能}{ていらーてんかいかのう}であるといい, 右辺を $f(x)$ の\ommindex{テイラー級数}{ていらーきゅうすう}という。 $f(x)$ をテイラー級数で表すことを \ommindex{テイラー展開}{ていらーてんかい}するという。 $f(x)$ が何回でも微分可能であっても, テイラー展開可能であるとは限らない。 %

% 前項のテイラーの定理で, とくに $a=0$ の場合を \ommindex{マクローリンの定理}{まくろーりんのていり}という。 \ommindex{マクローリン多項式}{まくろーりんたこうしき}, \ommindex{マクローリン展開可能}{まくろーりんてんかいかのう}, \ommindex{マクローリン級数}{まくろーりんきゅうすう}, \ommindex{マクローリン展開}{まくろーりんてんかい}も同じように定める。 $x=0$ のまわりでマクローリン展開可能な関数について, $|x|<R$ の範囲でマクローリン展開可能であるが, $|x|=R$ のときマクローリン展開可能ではないような正の数 $R$ を, マクローリン級数の\ommindex{収束半径}{しゅうそくはんけい}という。 任意の実数でマクローリン展開可能な関数の収束半径はは無限大とし, $R=\infty$ とかく。 いくつかの関数のマクローリン展開を挙げる。 $R$ は収束半径である。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots \quad (R=1)$ \item[(2)] $\sin{x}=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} -\cdots +(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots \quad (R=\infty)$ \item[(3)] $\cos{x}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} -\cdots +(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots \quad (R=\infty)$ \item[(4)] $e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!} +\cdots +\frac{x^{n}}{n!}+\cdots \quad (R=\infty)$ \item[(5)] $\log{x}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} -\cdots +(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}+\cdots \quad (R=1)$ \end{enumerate} % %

% $e^x$ のマクローリン展開に, $x=i\theta$ ($i$ は虚数単位) を代入すると, % \begin{align*} e^{i\theta} &= 1+\frac{i\theta}{1!}+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!} +\frac{(i\theta)^4}{4!}+\frac{(i\theta)^5}{5!}+\cdots \\ &= 1+\frac{i\theta}{1!}-\frac{\theta^2}{2!}-\frac{i\theta^3}{3!} +\frac{\theta^4}{4!}+\frac{i\theta^5}{5!}+\cdots \\ &= \left( 1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}\cdots \right) + i\left( \frac{i\theta}{1!}-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}+\cdots \right) \end{align*} % となる。 最後の式の実部は $\cos{\theta}$ のマクローリン展開, 虚部は $\sin{\theta}$ のマクローリン展開であるから % \begin{align*} e^{i\theta} = \cos{\theta}+i\sin{\theta} \end{align*} % が成り立つ。 これを\ommindex{オイラーの公式}{おいらーのこうしき}という。