微分法の応用

% 関数 $y=f(x)$ は $x=a$ を含む開区間 I で微分可能であるとする。 直線 % \begin{align*} \ell\,:\,y=f'(a)(x-a)+f(a) \end{align*} % を, $y=f(x)$ のグラフ上の点 A$(a,f(a))$ における \ommindex{接線}{せっせん}といい, 点 A を\ommindex{接線}{せっせん}という。 また, 直線 $\ell$ は点 A において $y=f(x)$ のグラフに \ommindex{接する}{せっする}という。 %

% 関数 $y=f(x)$ が 区間 I の任意の点 $x_1$, $x_2$ $(x_1<x_2)$ に対して, % \begin{enumerate} \item[(1)] $f(x_1)<f(x_2)$ であるとき, 区間 I で\ommindex{単調増加}{たんちょうぞうか} \item[(2)] $f(x_1)>f(x_2)$ であるとき, 区間 I で\ommindex{単調減少}{たんちょうげんしょう} \end{enumerate} % % であるという。 単調増加である関数は\ommindex{増加関数}{ぞうかかんすう}, 単調減少である関数は\ommindex{減少関数}{げんしょうかんすう}という。 $f(x)$ が単調増加または単調減少であるとき, \ommindex{単調}{たんちょう}であるという。 $y=f(x)$ が微分可能であるとき, その導関数と増減の関係は次のようになる。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 区間 I で $f'(x)>0$ ならば, $f(x)$ は I で単調増加 \item[(2)] 区間 I で $f'(x)<0$ ならば, $f(x)$ は I で単調減少 \end{enumerate} % 関数 $y=f(x)$ が $x=a$ で減少から増加に変わるとき, $f(x)$ は $x=a$ で\ommindex{極小}{きょくしょう}であるといい, $f(a)$ を\ommindex{極小値}{きょくしょうち}という。 また, 関数 $y=f(x)$ が $x=a$ で増加から減少に変わるとき, $f(x)$ は $x=a$ で\ommindex{極大}{きょくだい}であるといい, $f(a)$ を\ommindex{極大値}{きょくだいち}という。 %

% 関数 $y=f(x)$ が 区間 I の任意の点 $x_1$, $x_2$ $(x_1<x_2)$ に対して, $x\in \text{I}$ ならば % \begin{enumerate} \item[(1)] $f(x)<\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1)$ であるとき, 区間 I で\ommindex{下に凸}{したにとつ} \item[(2)] $f(x)>\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1)$ であるとき, 区間 I で\ommindex{上に凸}{うえにとつ} \end{enumerate} % % であるという。 定義から, 関数 $y=f(x)$ が区間 I で下に凸であるとき, 区間上の2点を結ぶ線分より $y=f(x)$ のグラフは下側にある。 また, 関数 $y=f(x)$ が区間 I で上に凸であるとき, 区間上の2点を結ぶ線分より $y=f(x)$ のグラフは上側にある。 $y=f(x)$ が2回微分可能で2階導関数 $f''(x)$ が連続であるとき, % \begin{enumerate} \item[(1)] 区間 I で $f'{}'(x)>0$ ならば $f(x)$ は I で下に凸 \item[(2)] 区間 I で $f'{}'(x)<0$ ならば $f(x)$ は I で上に凸 \end{enumerate} % である。 関数が下に凸, 上に凸の状態を関数の\ommindex{凹凸}{おうとつ}という。 関数 $y=f(x)$ が $x=a$ で下に凸から上に凸または 上に凸から下に凸に変わるとき, 点 $(a,f(a))$ を\ommindex{変曲点}{へんきょくてん}であるという。 点 $(a,f(a))$ が $y=f(x)$ の変曲点であるとき, $f'{}'(a)=0$ である。 %

% $x$ 軸上を運動する点 P があり, 時刻 $t$ における点 P の位置が $x=f(t)$ で表されているとする。 $f(t)$ が微分可能であるとき, % \begin{align*} v(t)=\frac{dx}{dt} \end{align*} % を点 P の\ommindex{速度}{そくど}といい, 速度の大きさ % \begin{align*} s(t)=\left|v(t)\right|=\left|\frac{dx}{dt}\right| \end{align*} % を\ommindex{速さ}{はやさ}という。 さらに, $f(t)$ が2回微分可能であるとき, % \begin{align*} a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2{x}}{dt^2} \end{align*} % を点 P の\ommindex{加速度}{かそくど}という。 %