勾配
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空間のスカラー場 $\varphi$ に対して,
微分演算子
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\begin{align*}
\nabla
=
\vt{i}\frac{\partial}{\partial x}
+
\vt{j}\frac{\partial}{\partial y}
+
\vt{k}\frac{\partial}{\partial z}
\end{align*}
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を用いて,
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\begin{align*}
\nabla{\varphi}
&=
\left(\vt{i}\frac{\partial}{\partial x}
+\vt{j}\frac{\partial}{\partial y}
+\vt{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)\varphi
\\
&=
\frac{\partial\varphi}{\partial x}\vt{i}
+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\vt{j}
+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vt{k}
\end{align*}
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と定められるベクトル場を $\varphi$ の\ommindex{勾配}{こうばい}といい,
$\grad{\varphi}$ と表す。
点 P$(x_0,\,y_0,\,z_0)$ と単位ベクトル
$\vt{u}=u_x\,\vt{i}+u_y\,\vt{j}+u_z\,\vt{k}$ に対して,
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\begin{align*}
\varphi(t)=\varphi(x_0+u_xt,\,y_0+u_yt,\,z_0+u_zt)
\end{align*}
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とおくと,
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\begin{align*}
\varphi'(0)
=
\grad{\varphi}({\text{P}})\bdot \vt{u}
\end{align*}
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が成り立つ。
この値は,
点 P が $\vt{u}$ 方向に移動したときの $\varphi$ の値の変化率である。
これを,
点 P におけるスカラー場 $\varphi$ の $\vt{u}$ 方向の
\textbf{方向微分係数}といい,
$D_{\vt{u}}\varphi$ と表す。方向微分係数 $D_{\vt{u}}\varphi$ が
最大となる単位ベクトル $\vt{u}$ の向きを,
$\varphi$ の\textbf{最大傾斜方向}という。
$\grad{\varphi}$ は各点 P において,
$\varphi$ の最大傾斜方向と同じ方向のベクトルであり,
そのとき,
$D_{\vt{u}}\varphi=\left|\grad{\varphi}\right|$ になる。
勾配の性質
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スカラー場 $\varphi$, $\psi$ および定数 $c$ について,
次が成り立つ。
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\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\grad{(c\varphi)}=c\grad{\varphi}$
\item[(2)]
$\grad(\varphi+\psi)=\grad{\varphi}+\grad\psi$
\item[(3)]
$\grad(\varphi\psi) =(\grad\varphi)\psi +\varphi(\grad\psi)$
\end{enumerate}
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