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数学・工学事典 / 数学 / 応用数学 / ベクトル解析
面積分
スカラー場の面積分
%
スカラー場 $\varphi(x,y,z)$ と,
$uv$ 平面上の領域 D で定義された
曲面 ${\text{S}}:
\vt{r}=x(u,v)\vt{i}+y(u,v)\vt{j}+z(u,v)\vt{k}$ に対して,
$\varphi(u,v)=\varphi(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ と表すとき
%
\begin{align*}
\int_{\text{S}}\varphi\,d\sigma
=
\int_{\text{D}}
\varphi(u,v)
\left|
\frac{\partial \vt{r}}{du}
\times
\frac{\partial \vt{r}}{dv}
\right|\,dudv
\end{align*}
%
を,
曲面 D 上のスカラー場 $\varphi$ の
\ommindex{面積分}{めんせきぶん}という。
とくに,
$\varphi=1$ のとき,
面積分の値は
\ommindex{曲面の面積}{きょくめんのめんせき} $\sigma$ を表す。
%
\begin{align*}
\sigma
=
\int_{\text{D}}
\left|
\frac{\partial \vt{r}}{du}
\times
\frac{\partial \vt{r}}{dv}
\right|\,dudv
\end{align*}
%
%
ベクトル場の面積分
%
各点に2つずつある単位法線ベクトルのうち1つを,
曲面全体で連続的に選ぶことができるとき,
この曲面は\ommindex{向き付け可能}{むきづけかのう}であるといい,
選んだベクトルを\ommindex{外向き}{そとむき},
もう一方を\ommindex{内向き}{うちむき}であるという。
曲面が向き付け可能であるとき,
外向きの単位法線ベクトルを $\vt{n}$ とするとき,
%
\begin{align*}
\vt{n}
=
\pm
\frac{1}{\displaystyle \left|
\frac{\partial \vt{r}}{\partial u}
\times
\frac{\partial \vt{r}}{\partial v}
\right|}
\frac{\partial \vt{r}}{\partial u}
\times
\frac{\partial \vt{r}}{\partial v}
\end{align*}
%
である。
ここで,
符号は $\displaystyle
\frac{\partial \vt{r}}{\partial u}
\times
\frac{\partial \vt{r}}{\partial v}$ が外向きにときに $+$,
内向きのときに $-$ を選ぶものとする。
このとき,
%
\begin{align*}
\int_{\text{S}}
\vt{a}\vt{\cdot }d\vt{S}
&=
\int_{\text{S}}
\vt{a}\vt{\cdot }\vt{n}\,d\sigma
\\
&=
\pm
\int\!\!\!\int_{\text{D}}
\vt{a}\vt{\cdot }\left(
\frac{\partial \vt{r}}{\partial u}
\times
\frac{\partial \vt{r}}{\partial v}
\right)\,dudv
\end{align*}
%
を,
曲面 S に沿うベクトル場 $\vt{a}$ の
\ommindex{面積分}{めんせきぶん}という。
%
応用例
- 抗力と揚力(1) (流れ学 (V-A-4 熱流体))
- 管路内の流れ(5) 管内の乱流流れ (流れ学 (V-A-4 熱流体))
- 流体の静力学(8) 垂直平板に作用する全圧力 (流れ学 (V-A-4 熱流体))
- 流体の静力学(10) 曲面に作用する全圧力 (流れ学 (V-A-4 熱流体))
- 流体の静力学(11) 浮揚体の安定性 (流れ学 (V-A-4 熱流体))