抵抗のない滑らかな面の上を
速度 $v_0\,\,\left[\textrm{m}/\textrm{s}\right]$ で運動している
質点 P が,
粗い面にさしかかり,
面の抵抗を受けて停止した。
質点 P の質量を $m\,\left[\textrm{kg}\right]$,
粗い面の動摩擦係数を $\mu$ とするとき,
粗い面にさしかかってから停止するまでの時間を求めよ。
解答例・解説
質点 P が粗い面にさしかかってから $t$ 秒後の P の
位置を $x(t)$,
速度を $v(t)$ とする。
粗い面上で,
運動する質点 P が受ける摩擦力の大きさを $F$ とすれば,
%
\begin{align*}
F=mg \mu
\end{align*}
%
が成り立つ。
摩擦力は運動と逆の方向に働くから,
粗い面上での運動方程式は
%
\begin{align*}
-mg\mu=mx' '(t)
\end{align*}
%
となる。
$x'(t)=v(t)$ であるから,
この微分方程式は
%
\begin{align*}
v'(t)=-g\mu
\end{align*}
%
となる。
これを積分することによって,
一般解
%
\begin{align*}
v(t)=C-g\mu t
\quad
(\mbox{$C$ は任意定数})
\end{align*}
%
が得られる。
与えられた条件から $v(0)=v_0$ であるから,
%
\begin{align*}
v_0=C
\quad \mbox{よって} \quad
v(t)=v_0-g\mu t
\quad \cdots \cdots [1]
\end{align*}
%
となる。
速度を積分すれば位置が得られる。
$x(0)=0$ であることに注意すれば,
%
\begin{align*}
x(t)=v_0t-\frac{1}{2}g\mu t^2
\quad \cdots \cdots [2]
\end{align*}
%
となる。
質点 P が制止する時刻を $t=t_0\,\,\left[\textrm{s}\right]$ とすれば,
[1] から,
%
\begin{align*}
v(t_0)=v_0-g\mu t_0=0
\quad \mbox{よって} \quad
t_0=\frac{v_0}{g\mu}
\end{align*}
%
となる。
粗い面にさしかかってから静止するまでに動いた距離 $s$ は,
時刻 $t=t_0$ における物体の位置 $x(t_0)$ と等しいから,
%
\begin{align*}
s
=
x(t_0)
=
v_0t_0-\frac{1}{2}g\mu t_0^2
=
\frac{v_0^2}{2g\mu}
\,\left[\textrm{m}\right]
\end{align*}
%
である。