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例題集 / 機械 / 材料力学(V-A-3 力学) / 応力とひずみ
図のように,断面積$A,$ヤング率$E$の二つの部材から成るトラス構造体があり,点$C$に鉛直下向きに荷重$P$を負荷した.
$(1)$
各部材に生じる応力を求めよ.
$(2)$
点$C$の鉛直下向きの移動量$\delta$を$,$エネルギー法を用いて求めよ.
$(3)$
$L=4\rm{m}$,$A=100 \rm{mm^2}$,$E=206 \rm{GPa}$,$P=5 \rm{kN}$のときの$\delta$を計算せよ.
%=image:/media/2015/01/15/142125395546467600.png:
解答例・解説
$(1)$
部材ACに生じる軸力を$N_{\textrm{AC}}$,部材BCに生じる軸力を$N_{\textrm{BC}}$とする.
%=image:/media/2015/01/15/142125399549906000.png:
軸力を三角関数を用いて水平方向と鉛直方向とに分解して,点$\rm{C}$での力のつり合い式を考えると,
水平方向
%
\begin{equation}
-N_{\textrm{AC}}\cos{30^\circ}+(-N_{\textrm{BC}})=0 \hspace{30px}\cdots(1)'
\end{equation}
%
鉛直方向
%
\begin{equation}
N_{\textrm{AC}}\sin{30^\circ}+(-P)=0 \hspace{30px}\cdots(2)'
\end{equation}
%
の$2$式が得られる.
これらの連立方程式を解くと,まず$(2)'$から,
\[
N_{\textrm{AC}}=\frac{P}{\sin{30^\circ}}
\]
が得られ,これを$(1)'$に代入して,
\[
N_{\textrm{BC}}=-\frac{P}{\tan{30^\circ}}
\]
部材に生じる応力は軸力を断面積で割ればよいので,
部材$\rm{AC}$に生じる応力$\sigma_{\textrm{AC}}$は,
\[
\sigma_{\textrm{AC}}=\frac{N_{\textrm{AC}}}{A}=\frac{P}{A\times\sin{30^\circ}}
\]
部材$\rm{BC}$に生じる応力$\sigma_{\textrm{BC}}$は,
\[
\sigma_{\textrm{BC}}=\frac{N_{\textrm{BC}}}{A}=-\frac{P}{A\times\tan{30^\circ}}
\]
と求まる.
$(2)$
断面積$A$,長さ$L$,ヤング率$E$の部材に軸力$N$が働くときのひずみエネルギー$U$は,
\[
U=\frac{N^2L}{2AE}
\]
で求められる.
さらに,カスチリアノの定理を用いると,荷重$P$が作用する点の,荷重負荷方向の変位$\delta$が求まる.
カスチリアノの定理は,ひずみエネルギーを荷重$P$で微分すればよい(合成関数の導関数)ので,
\[
\delta=\frac{\partial{U}}{\partial{P}}=\frac{\partial{U}}{\partial{N}}\frac{\partial{N}}{\partial{P}}=\frac{NL}{AE}\frac{\partial{N}}{\partial{P}}
\]
で求まる。
題意より,
\begin{align}
\delta &= \frac{\partial{U}}{\partial{P}}\\
&=\frac{\partial{}}{\partial{P}}\left(U_{\textrm{AC}}+U_{\textrm{BC}}\right)\\
&=\frac{\partial{U_{\textrm{AC}}}}{\partial{P}}+\frac{\partial{U_{\textrm{BC}}}}
{\partial{P}}\\
&=\frac{\partial{U_{\textrm{AC}}}}{\partial{N_{\textrm{AC}}}}\frac{\partial{N_{\textrm{AC}}}}
{\partial{P}}+\frac{\partial{U_{\textrm{BC}}}}{\partial{N_{\textrm{BC}}}}\frac{\partial{N_{\textrm{BC}}}}
{\partial{P}}\\
&=\frac{N_{\textrm{AC}}L_{\textrm{AC}}}{AE}\frac{\partial{N_{\textrm{AC}}}}
{\partial{P}}+\frac{N_{\textrm{BC}}L_{\textrm{BC}}}{AE}\frac{\partial{N_{\textrm{BC}}}}
{\partial{P}}\\
&=\frac{\left(\frac{P}{\sin{30^\circ}}\right)}{AE}\frac{L}{\cos{30^\circ}}\frac{\partial{N_{\textrm{AC}}}}
{\partial{P}}+\frac{\left(\frac{-P}{\tan{30^\circ}}\right)L}{AE}\frac{\partial{N_{\textrm{BC}}}}
{\partial{P}}\\
&=\frac{\left(\frac{P}{\sin{30^\circ}}\right)}{AE}\frac{L}{\cos{30^\circ}}\frac{1}
{\sin{30^\circ}}+\frac{\left(\frac{-P}{\tan{30^\circ}}\right)L}{AE}\frac{-1}
{\tan{30^\circ}}\\
&=\frac{PL}{AE}\left(\frac{1}{\sin^230^\circ\cos{30^\circ}}+\frac{1}{\tan^2{30^\circ}}\right)\\
&=\frac{PL}{AE}\left(\frac{1+\cos^330^\circ}{\sin^230^\circ\cos{30^\circ}}\right)
\end{align}
$(3)$
\[
\delta=\frac{PL}{AE}\left(\frac{1+\cos^330^\circ}{\sin^230^\circ\cos{30^\circ}}\right)\\
=\frac{5\times10^3\times4}{100\times10^{-6}\times206\times10^9}\times\left(\frac{1+\cos^330^\circ}{\sin^230^\circ\cos30^\circ}\right)\\
=7.396895295\times10^{-3}\ \rm{m}
\]
応力とひずみ(2)
知識・記憶レベル
難易度: ★
次の$(1)\sim(4)$に答えよ.
ただし,計算方法も記述し,答えには$\underline{単位}$も忘れずにつけること.
直径$20 \rm{mm}$,長さ$200 \rm{mm}$の丸棒材の引張試験を行った.
荷重が$3000 \rm{kgf}$のとき,丸棒材の長さが$200.24 \rm{mm}$に伸びていた.
なお,重力加速度$g=9.8 \rm{m/s^2}$,ポアソン比$\nu=0.3$とする.
$(1)$
このときの応力を求めよ.
$(2)$
このときのひずみを求めよ.
$(3)$
このときの直径を求めよ(可能な限り最小位まで求めよ).
$(4)$
この材料のヤング率を求めよ.
解答例・解説
$(1)$
このときの応力を求めよ.
\[
\begin{align}
\sigma&=\frac{P}{A}\\
&=\frac{3000\times9.8}{\frac{\pi}{4}\times20^2}\\
&=93.583\\
&=93.6\ \rm{MPa}
\end{align}
\]
$(2)$
このときのひずみを求めよ.
\[
\begin{align}
\epsilon&=\frac{\delta}{l}\\
&=\frac{200.24-200}{200}\\
&=1.2\times10^{-3}
\end{align}
\]
$(3)$
このときの直径を求めよ(可能な限り最小位まで求めよ).
\[
\begin{align}
\nu&=-\frac{\epsilon'}{\epsilon}=0.3\hspace{20px}より\\
\epsilon'&=-0.3\times\epsilon=-0.3\times1.2\times10^{-3}=3.6\times10^{-4}\\
d'&=d-d\times\epsilon'=20-20\times3.6\times10^{-4}=19.9928\,\rm{mm}\\
\end{align}
\]
$(4)$
この材料のヤング率を求めよ.
\[
\begin{align}
E&=\frac{\sigma}{\epsilon}\\
&=\frac{93.6}{1.2\times10^{-3}}\\
&=78\ \rm{GPa}\\
\end{align}
\]
応力とひずみ(3)
知識・記憶レベル
難易度: ★★
$8000 \rm{N}$の荷物を直径$12\rm{ mm}$のロープを複数本用いて吊り下げたい.
このロープの許容応力(引張強さ)は$20\rm{ MPa}$である.
安全率を$4$としたとき,ロープは最低限何本必要か求めよ.
解答例・解説
\[
\begin{align}
\sigma&\ge\frac{P\times S}{n\times\frac{\pi}{4}d^2}\\
&=\frac{8000\times4}{n\times\frac{\pi}{4}\times\left(12\times10^{-3}\right)^2}\\
&=20\ \rm{MPa}\hspace{30px}より\\
\end{align}
\]
\[
n\ge14.147\\
\]
\[
\therefore n=15\ 本
\]
ヤング率$E$,断面積$A$の等しい$2$本の棒をピン接合し,間隔$2L$の剛体壁間に設置した.
$\rm{C}$点に鉛直下向きに荷重$P$を加えたとき,このトラス構造全体に貯えられる弾性ひずみエネルギーを求めたい.
空欄$(\ 1\ )\sim(\ 7\ )$に適する数値や語句,記号,式等を記述せよ.
部材$\rm{AC}$,$\rm{BC}$に発生する軸力を$N_1$,$N_2$として$\rm{C}$点での力のつり合いを考えると,
(水平方向)
$\underline{(\ 1\ )\hspace{300px}}$
(鉛直方向)
$\underline{(\ 2\ )\hspace{300px}}$
これらを解くと,
$\underline{(\ 3\ ) \ (N_1=N_2=)N=\hspace{200px}}$
ここで,“弾性ひずみエネルギー”とは外力がなす
$\underline{(\ 4\ )\hspace{300px}}$
である.
断面積$A$,ヤング率$E$,部材の長さ$L$,軸力$N$のとき,弾性ひずみエネルギーは,公式より,
$\underline{(\ 5\ )\hspace{300px}}$
である.本問題において,各部材の長さは,
$\underline{(\ 6\ )\hspace{300px}}$
と表わされるので,部材$1$本に貯えられる弾性ひずみエネルギーは,
$\underline{(\ 7\ )\hspace{300px}}$
である.同じ軸力が働く同じ部材が$2$本あるので$(7)\times2$でトラス構造全体に貯えられる弾性ひずみエネルギーが求まった.
%=image:/media/2015/01/15/142125427661922500.png:
解答例・解説
部材$\rm{AC}$,$\rm{BC}$に発生する軸力を$N_1$,$N_2$として$\rm{C}$点での力のつり合いを考えると,
(水平方向)
$(1)$
\[
-N_1\cos\theta+N_2\cos\theta=0\\
\]
(鉛直方向)
$(2)$
\[
-N_1\sin\theta-N_2\sin\theta-P=0\\
\]
これらを解くと,
$(3)$
\[
-\frac{P}{2\sin\theta}\\
\]
ここで,"弾性ひずみエネルギー"とは外力がなす
$(4)$
\[
仕事\\
\]である.
断面積$A$,ヤング率$E$,部材の長さ$L$,軸力$N$のとき,弾性ひずみエネルギーは,公式より,
$(5)$
\[
\frac{N^2L}{2AE}
\]
である.本問題において,各部材の長さは,
$(6)$
\[
\frac{L}{\cos\theta}
\]
と表されるので,部材1本に貯えられる弾性ひずみエネルギーは,
$(7)$
\[
\frac{P^2L}{8AE\sin^2\theta\cos\theta}
\]
である.
同じ軸力が働く同じ部材が$2$本あるので$(7)\times2$でトラス構造全体に貯えられる弾性エネルギーが求まった.
部材$\rm{AC}$(ヤング率$200 \rm{GPa}$,断面積$160 \rm{mm^2}$)と,部材$\rm{BC}$(ヤング率$80 \rm{GPa}$,断面積$100 \rm{mm^2}$)とを,下図のようにピン接合し,$\rm{C}$点に荷重$12000 \rm{N}$を加えた.
それぞれの部材に発生する応力$\sigma_{AC}$,$\sigma_{BC}$,および各部材の伸び縮み量$\delta_{AC}$,$\delta_{BC}$をそれぞれ求めよ.
また,$\rm{C}$点の移動量$\delta_{H}$,$\delta_{V}$を求めよ.
%=image:/media/2015/01/15/142125437199833200.png:
解答例・解説
%=image:/media/2015/01/15/142125437266582000.png:
力のつり合い式より,
\[\left\{\begin{array}{}
(水平方向)\hspace{20px}\underline{-N_{AC}-N_{BC}\cos\theta=0}
\\
(鉛直方向)\hspace{20px}\underline{-N_{BC}\sin\theta-P=0}
\end{array}\right.
\]
ここで,幾何学的な関係から,$\sin\theta=\frac{3}{5},\ \cos\theta=\frac{4}{5},\ \tan\theta=\frac{3}{4}\hspace{10px}$である.
これらを解いて軸力は,
\[
\begin{align}
N_{BC}&=-\frac{P}{\sin\theta}=-\frac{12000}{\frac{3}{5}}=\underline{-20000\ \rm{N}}\\
N_{AC}&=-N_{BC}\cos\theta=\underline{20000\times\frac{4}{5}=16000\ \rm{N}}
\end{align}
\]
したがって,各部材に働く応力は,
\[
\begin{align}
\sigma_{AC}&=\frac{N_{AC}}{A_{AC}}=\frac{16000}{160}=\underline{100\ \rm{MPa}}\\
\sigma_{BC}&=\frac{N_{BC}}{A_{BC}}=\frac{-20000}{100}=\underline{-200\ \rm{MPa}}
\end{align}
\]
変位を求める公式より,各部材の伸び縮み量は,
\[
\begin{align}
\delta_{AC}&=\frac{N_{AC}L_{AC}}{A_{AC}E_{AC}}=\frac{16000\times4}{160\times10^{-6}\times200\times10^9}=\underline{2.0\times10^{-3}\ \rm{m}}\\
\delta_{BC}&=\frac{N_{BC}L_{BC}}{A_{BC}E_{BC}}=\frac{-20000\times5}{100\times10^{-6}\times80\times10^9}=\underline{-1.25\times10^{-2}\ \rm{m}}
\end{align}
\]
%=image:/media/2015/01/15/142125437340436800.png:
ここで,$\rm{C}$点の移動を幾何学的に近似に求める.
水平方向の変位は,$\hspace{40px}\delta_H=\delta_{AC}=\underline{2\ \rm{mm}}$
鉛直方向の変位は,下記のどちらでもよい.
\[
\begin{align}
\hspace{40px}\delta_V&=\delta_{BC}\sin\theta+\frac{\delta_{BC}\cos\theta+\delta_{AC}}{\tan\theta}\\
&=12.5\times\frac{3}{5}+\frac{12.5\times\frac{4}{5}+2}{\frac{3}{4}}\\
&=\underline{23.5\ \rm{mm}}\\\\
\hspace{40px}\delta_V&=\frac{\frac{\delta_{BC}}{\cos\theta}+\delta_{AC}}{\tan\theta}\\
&=\frac{\frac{12.5}{\left(\frac{4}{5}\right)}+2}{\frac{3}{4}}\\
&=\underline{23.5\ \rm{mm}}
\end{align}
\]