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例題集 / 機械 / 材料力学(V-A-3 力学) / 応力とひずみ

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難易度

応力とひずみ(1)

理解レベル   難易度: ★★
図のように,断面積$A,$ヤング率$E$の二つの部材から成るトラス構造体があり,点$C$に鉛直下向きに荷重$P$を負荷した. $(1)$ 各部材に生じる応力を求めよ. $(2)$ 点$C$の鉛直下向きの移動量$\delta$を$,$エネルギー法を用いて求めよ. $(3)$ $L=4\rm{m}$,$A=100 \rm{mm^2}$,$E=206 \rm{GPa}$,$P=5 \rm{kN}$のときの$\delta$を計算せよ. %=image:/media/2015/01/15/142125395546467600.png:

解答例・解説

$(1)$ 部材ACに生じる軸力を$N_{\textrm{AC}}$,部材BCに生じる軸力を$N_{\textrm{BC}}$とする. %=image:/media/2015/01/15/142125399549906000.png: 軸力を三角関数を用いて水平方向と鉛直方向とに分解して,点$\rm{C}$での力のつり合い式を考えると, 水平方向 % \begin{equation} -N_{\textrm{AC}}\cos{30^\circ}+(-N_{\textrm{BC}})=0 \hspace{30px}\cdots(1)' \end{equation} % 鉛直方向 % \begin{equation} N_{\textrm{AC}}\sin{30^\circ}+(-P)=0 \hspace{30px}\cdots(2)' \end{equation} % の$2$式が得られる. これらの連立方程式を解くと,まず$(2)'$から, \[ N_{\textrm{AC}}=\frac{P}{\sin{30^\circ}} \] が得られ,これを$(1)'$に代入して, \[ N_{\textrm{BC}}=-\frac{P}{\tan{30^\circ}} \] 部材に生じる応力は軸力を断面積で割ればよいので, 部材$\rm{AC}$に生じる応力$\sigma_{\textrm{AC}}$は, \[ \sigma_{\textrm{AC}}=\frac{N_{\textrm{AC}}}{A}=\frac{P}{A\times\sin{30^\circ}} \] 部材$\rm{BC}$に生じる応力$\sigma_{\textrm{BC}}$は, \[ \sigma_{\textrm{BC}}=\frac{N_{\textrm{BC}}}{A}=-\frac{P}{A\times\tan{30^\circ}} \] と求まる. $(2)$ 断面積$A$,長さ$L$,ヤング率$E$の部材に軸力$N$が働くときのひずみエネルギー$U$は, \[ U=\frac{N^2L}{2AE} \] で求められる. さらに,カスチリアノの定理を用いると,荷重$P$が作用する点の,荷重負荷方向の変位$\delta$が求まる. カスチリアノの定理は,ひずみエネルギーを荷重$P$で微分すればよい(合成関数の導関数)ので, \[ \delta=\frac{\partial{U}}{\partial{P}}=\frac{\partial{U}}{\partial{N}}\frac{\partial{N}}{\partial{P}}=\frac{NL}{AE}\frac{\partial{N}}{\partial{P}} \] で求まる。 題意より, \begin{align} \delta &= \frac{\partial{U}}{\partial{P}}\\ &=\frac{\partial{}}{\partial{P}}\left(U_{\textrm{AC}}+U_{\textrm{BC}}\right)\\ &=\frac{\partial{U_{\textrm{AC}}}}{\partial{P}}+\frac{\partial{U_{\textrm{BC}}}} {\partial{P}}\\ &=\frac{\partial{U_{\textrm{AC}}}}{\partial{N_{\textrm{AC}}}}\frac{\partial{N_{\textrm{AC}}}} {\partial{P}}+\frac{\partial{U_{\textrm{BC}}}}{\partial{N_{\textrm{BC}}}}\frac{\partial{N_{\textrm{BC}}}} {\partial{P}}\\ &=\frac{N_{\textrm{AC}}L_{\textrm{AC}}}{AE}\frac{\partial{N_{\textrm{AC}}}} {\partial{P}}+\frac{N_{\textrm{BC}}L_{\textrm{BC}}}{AE}\frac{\partial{N_{\textrm{BC}}}} {\partial{P}}\\ &=\frac{\left(\frac{P}{\sin{30^\circ}}\right)}{AE}\frac{L}{\cos{30^\circ}}\frac{\partial{N_{\textrm{AC}}}} {\partial{P}}+\frac{\left(\frac{-P}{\tan{30^\circ}}\right)L}{AE}\frac{\partial{N_{\textrm{BC}}}} {\partial{P}}\\ &=\frac{\left(\frac{P}{\sin{30^\circ}}\right)}{AE}\frac{L}{\cos{30^\circ}}\frac{1} {\sin{30^\circ}}+\frac{\left(\frac{-P}{\tan{30^\circ}}\right)L}{AE}\frac{-1} {\tan{30^\circ}}\\ &=\frac{PL}{AE}\left(\frac{1}{\sin^230^\circ\cos{30^\circ}}+\frac{1}{\tan^2{30^\circ}}\right)\\ &=\frac{PL}{AE}\left(\frac{1+\cos^330^\circ}{\sin^230^\circ\cos{30^\circ}}\right) \end{align} $(3)$ \[ \delta=\frac{PL}{AE}\left(\frac{1+\cos^330^\circ}{\sin^230^\circ\cos{30^\circ}}\right)\\ =\frac{5\times10^3\times4}{100\times10^{-6}\times206\times10^9}\times\left(\frac{1+\cos^330^\circ}{\sin^230^\circ\cos30^\circ}\right)\\ =7.396895295\times10^{-3}\ \rm{m} \]

応力とひずみ(2)

知識・記憶レベル   難易度:
次の$(1)\sim(4)$に答えよ. ただし,計算方法も記述し,答えには$\underline{単位}$も忘れずにつけること. 直径$20 \rm{mm}$,長さ$200 \rm{mm}$の丸棒材の引張試験を行った. 荷重が$3000 \rm{kgf}$のとき,丸棒材の長さが$200.24 \rm{mm}$に伸びていた. なお,重力加速度$g=9.8 \rm{m/s^2}$,ポアソン比$\nu=0.3$とする. $(1)$ このときの応力を求めよ. $(2)$ このときのひずみを求めよ. $(3)$ このときの直径を求めよ(可能な限り最小位まで求めよ). $(4)$ この材料のヤング率を求めよ.

解答例・解説

$(1)$ このときの応力を求めよ. \[ \begin{align} \sigma&=\frac{P}{A}\\ &=\frac{3000\times9.8}{\frac{\pi}{4}\times20^2}\\ &=93.583\\ &=93.6\ \rm{MPa} \end{align} \] $(2)$ このときのひずみを求めよ. \[ \begin{align} \epsilon&=\frac{\delta}{l}\\ &=\frac{200.24-200}{200}\\ &=1.2\times10^{-3} \end{align} \] $(3)$ このときの直径を求めよ(可能な限り最小位まで求めよ). \[ \begin{align} \nu&=-\frac{\epsilon'}{\epsilon}=0.3\hspace{20px}より\\ \epsilon'&=-0.3\times\epsilon=-0.3\times1.2\times10^{-3}=3.6\times10^{-4}\\ d'&=d-d\times\epsilon'=20-20\times3.6\times10^{-4}=19.9928\,\rm{mm}\\ \end{align} \] $(4)$ この材料のヤング率を求めよ. \[ \begin{align} E&=\frac{\sigma}{\epsilon}\\ &=\frac{93.6}{1.2\times10^{-3}}\\ &=78\ \rm{GPa}\\ \end{align} \]

応力とひずみ(3)

知識・記憶レベル   難易度: ★★
$8000 \rm{N}$の荷物を直径$12\rm{ mm}$のロープを複数本用いて吊り下げたい. このロープの許容応力(引張強さ)は$20\rm{ MPa}$である. 安全率を$4$としたとき,ロープは最低限何本必要か求めよ.

解答例・解説

\[ \begin{align} \sigma&\ge\frac{P\times S}{n\times\frac{\pi}{4}d^2}\\ &=\frac{8000\times4}{n\times\frac{\pi}{4}\times\left(12\times10^{-3}\right)^2}\\ &=20\ \rm{MPa}\hspace{30px}より\\ \end{align} \] \[ n\ge14.147\\ \] \[ \therefore n=15\ 本 \]

応力とひずみ(4)

理解レベル   難易度: ★★
ヤング率$E$,断面積$A$の等しい$2$本の棒をピン接合し,間隔$2L$の剛体壁間に設置した. $\rm{C}$点に鉛直下向きに荷重$P$を加えたとき,このトラス構造全体に貯えられる弾性ひずみエネルギーを求めたい. 空欄$(\ 1\ )\sim(\ 7\ )$に適する数値や語句,記号,式等を記述せよ. 部材$\rm{AC}$,$\rm{BC}$に発生する軸力を$N_1$,$N_2$として$\rm{C}$点での力のつり合いを考えると, (水平方向) $\underline{(\ 1\ )\hspace{300px}}$ (鉛直方向) $\underline{(\ 2\ )\hspace{300px}}$ これらを解くと, $\underline{(\ 3\ ) \ (N_1=N_2=)N=\hspace{200px}}$ ここで,“弾性ひずみエネルギー”とは外力がなす $\underline{(\ 4\ )\hspace{300px}}$ である. 断面積$A$,ヤング率$E$,部材の長さ$L$,軸力$N$のとき,弾性ひずみエネルギーは,公式より, $\underline{(\ 5\ )\hspace{300px}}$ である.本問題において,各部材の長さは, $\underline{(\ 6\ )\hspace{300px}}$ と表わされるので,部材$1$本に貯えられる弾性ひずみエネルギーは, $\underline{(\ 7\ )\hspace{300px}}$ である.同じ軸力が働く同じ部材が$2$本あるので$(7)\times2$でトラス構造全体に貯えられる弾性ひずみエネルギーが求まった. %=image:/media/2015/01/15/142125427661922500.png:

解答例・解説

部材$\rm{AC}$,$\rm{BC}$に発生する軸力を$N_1$,$N_2$として$\rm{C}$点での力のつり合いを考えると, (水平方向) $(1)$ \[ -N_1\cos\theta+N_2\cos\theta=0\\ \] (鉛直方向) $(2)$ \[ -N_1\sin\theta-N_2\sin\theta-P=0\\ \] これらを解くと, $(3)$ \[ -\frac{P}{2\sin\theta}\\ \] ここで,"弾性ひずみエネルギー"とは外力がなす $(4)$ \[ 仕事\\ \]である. 断面積$A$,ヤング率$E$,部材の長さ$L$,軸力$N$のとき,弾性ひずみエネルギーは,公式より, $(5)$ \[ \frac{N^2L}{2AE} \] である.本問題において,各部材の長さは, $(6)$ \[ \frac{L}{\cos\theta} \] と表されるので,部材1本に貯えられる弾性ひずみエネルギーは, $(7)$ \[ \frac{P^2L}{8AE\sin^2\theta\cos\theta} \] である. 同じ軸力が働く同じ部材が$2$本あるので$(7)\times2$でトラス構造全体に貯えられる弾性エネルギーが求まった.

応力とひずみ(5)

理解レベル   難易度: ★★
部材$\rm{AC}$(ヤング率$200 \rm{GPa}$,断面積$160 \rm{mm^2}$)と,部材$\rm{BC}$(ヤング率$80 \rm{GPa}$,断面積$100 \rm{mm^2}$)とを,下図のようにピン接合し,$\rm{C}$点に荷重$12000 \rm{N}$を加えた. それぞれの部材に発生する応力$\sigma_{AC}$,$\sigma_{BC}$,および各部材の伸び縮み量$\delta_{AC}$,$\delta_{BC}$をそれぞれ求めよ. また,$\rm{C}$点の移動量$\delta_{H}$,$\delta_{V}$を求めよ. %=image:/media/2015/01/15/142125437199833200.png:

解答例・解説

%=image:/media/2015/01/15/142125437266582000.png: 力のつり合い式より, \[\left\{\begin{array}{} (水平方向)\hspace{20px}\underline{-N_{AC}-N_{BC}\cos\theta=0} \\ (鉛直方向)\hspace{20px}\underline{-N_{BC}\sin\theta-P=0} \end{array}\right. \] ここで,幾何学的な関係から,$\sin\theta=\frac{3}{5},\ \cos\theta=\frac{4}{5},\ \tan\theta=\frac{3}{4}\hspace{10px}$である. これらを解いて軸力は, \[ \begin{align} N_{BC}&=-\frac{P}{\sin\theta}=-\frac{12000}{\frac{3}{5}}=\underline{-20000\ \rm{N}}\\ N_{AC}&=-N_{BC}\cos\theta=\underline{20000\times\frac{4}{5}=16000\ \rm{N}} \end{align} \] したがって,各部材に働く応力は, \[ \begin{align} \sigma_{AC}&=\frac{N_{AC}}{A_{AC}}=\frac{16000}{160}=\underline{100\ \rm{MPa}}\\ \sigma_{BC}&=\frac{N_{BC}}{A_{BC}}=\frac{-20000}{100}=\underline{-200\ \rm{MPa}} \end{align} \] 変位を求める公式より,各部材の伸び縮み量は, \[ \begin{align} \delta_{AC}&=\frac{N_{AC}L_{AC}}{A_{AC}E_{AC}}=\frac{16000\times4}{160\times10^{-6}\times200\times10^9}=\underline{2.0\times10^{-3}\ \rm{m}}\\ \delta_{BC}&=\frac{N_{BC}L_{BC}}{A_{BC}E_{BC}}=\frac{-20000\times5}{100\times10^{-6}\times80\times10^9}=\underline{-1.25\times10^{-2}\ \rm{m}} \end{align} \] %=image:/media/2015/01/15/142125437340436800.png: ここで,$\rm{C}$点の移動を幾何学的に近似に求める. 水平方向の変位は,$\hspace{40px}\delta_H=\delta_{AC}=\underline{2\ \rm{mm}}$ 鉛直方向の変位は,下記のどちらでもよい. \[ \begin{align} \hspace{40px}\delta_V&=\delta_{BC}\sin\theta+\frac{\delta_{BC}\cos\theta+\delta_{AC}}{\tan\theta}\\ &=12.5\times\frac{3}{5}+\frac{12.5\times\frac{4}{5}+2}{\frac{3}{4}}\\ &=\underline{23.5\ \rm{mm}}\\\\ \hspace{40px}\delta_V&=\frac{\frac{\delta_{BC}}{\cos\theta}+\delta_{AC}}{\tan\theta}\\ &=\frac{\frac{12.5}{\left(\frac{4}{5}\right)}+2}{\frac{3}{4}}\\ &=\underline{23.5\ \rm{mm}} \end{align} \]