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例題集 / 機械 / 材料力学（V-A-3 力学） / 組合せ応力
張力が引張側$P_{1}＝12 \rm{kN}$，ゆるみ側$P_{2}＝8 \rm{kN}$のベルトを水平方向にかけた直径$D＝100 \rm{cm}$，質量$m＝300 \rm{kg}$のベルト車が図のように支持されている．
軸材の許容せん断応力$\tau_{\textrm{a}}＝100 \rm{MPa}$のとき，必要な軸直径$d$を求めたい．
なお，重力加速度$g＝9.8 \rm{m/s^2}$とする．
$(1)$
軸にかかるねじりモーメント$T$を記号で答えよ．
$(2)$
軸にかかる曲げモーメント$M$を記号で答えよ．
$(3)$
軸の極断面係数$Z_{\textrm{p}}$を記号で答えよ．
$(4)$
相当ねじりモーメントを$T_{\textrm{e}}$として軸に生じるせん断応力$\tau$を記号で答えよ．
$(5)$
$T_{\textrm{e}}$＝$\sqrt{M^2+T^2}$のとき，必要な軸直径$d$を求めよ．
\end{enumerate}
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%=image:/media/2015/01/15/142125518656675900.png:
解答例・解説
$(1)$
\[
T=\frac{D}{2}(P_1-P_2)
\]
$(2)$
\[
M=l\sqrt{(P_1+P_2)^2+(mg)^2}
\]
$(3)$
\[
Z_p=\frac{\pi}{16}d^3
\]
$(4)$
\[
\tau=\frac{T_e}{Z_p}
\]
$(5)$
\[
\tau=\frac{1}{Z_p}\sqrt{M^2+T^2}\\
=\frac{16}{\pi d^3}\sqrt{M^2+T^2}
\]
したがって，
\[\begin{align}
d&\geqq\sqrt[3]{\frac{16}{\pi\tau_a}\sqrt{M^2+T^2}}\\
&=\scriptsize{\sqrt[3]{\frac{16}{\pi\times100\times10^6}\sqrt{1.2^2\left\{(12\times10^3+8\times10^3)^2+(300\times9.8)^2\right\}+\frac{1}{4}(12\times10^3-8\times10^3)^2}}}\\
&=0.107\ \rm{m}
\end{align}
\]