\begin{enumerate} \item (1) 電圧 $V_{R}$ は \begin{eqnarray} V_{R} = \frac{R}{R+j\omega L}E = \frac{R}{R+j2\pi f L}E \end{eqnarray} となるので，その大きさ$|V_{R}|$ は \begin{eqnarray} |V_{R}| = \frac{R}{\sqrt{R^{2}+(2\pi f L)^{2}}}|E| \end{eqnarray} となる。$f=0$ のとき \begin{eqnarray} |V_{R}|=\frac{R}{\sqrt{R^{2}}}|E|= \frac{R}{R}|E| = |E| =\underline{10}~\rm [V] \end{eqnarray} となる。$f\rightarrow \infty$ のとき \begin{eqnarray} |V_{R}| = \frac{R}{\sqrt{(2\pi fL)^{2}}}|E| = \frac{R}{2\pi Lf}|E| \rightarrow \underline{0}~\rm [V] \end{eqnarray} となる。 \item (2) 図2となる。 \item (3) 位相角は \begin{eqnarray} \theta = -\angle (R+j2\pi f L) \end{eqnarray} となる。 $f=0$ のとき \begin{eqnarray} \theta = -\angle R = \underline{0^{\circ}} \end{eqnarray} となる。また，$f\rightarrow \infty$ のとき \begin{eqnarray} \theta = -\angle (j2\pi f L) = \underline{-90^{\circ}} \end{eqnarray} となる。 \item (4) 図3のようになる。 \item (5) 図4のようになる。 \end{enumerate} %=image:/media/2014/11/21/141651675655042400.png:図2 %=image:/media/2014/11/21/141651675757147000.png:図3 %=image:/media/2014/11/21/141651675862183800.png:図4

\begin{enumerate} \item (1) $V_{R}$は \begin{eqnarray} V_{R} = \frac{R}{R+\frac{1}{j\omega C}} = \frac{R}{R-j\frac{1}{2\pi fC}} \end{eqnarray} となり，大きさ$|V_{R}|$ は \begin{eqnarray} |V_{R}| = \frac{R}{\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{2\pi fC }\right)^{2}}}|E| \end{eqnarray} となる。$f=f_{1}$ のとき， \begin{eqnarray} \frac{|E|}{\sqrt{2}}= \frac{R}{\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{2\pi fC }\right)^{2}}}|E| \end{eqnarray} が成り立つ。展開すると \begin{eqnarray} \sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{2\pi f_{1}C }\right)^{2}} &=& \sqrt{2}R\nonumber\\ R^{2}+\left(\frac{1}{2\pi f_{1}C }\right)^{2} &=& 2R^{2}\nonumber\\ R^{2}&=& \left(\frac{1}{2\pi f_{1}C }\right)^{2} \nonumber\\ f_{1}^{2}&=& \left(\frac{1}{2\pi RC }\right)^{2} \end{eqnarray} となるので，$f_{1}\ge 0$ より次のようになる。 \begin{eqnarray} f_{1} &=& \frac{1}{2\pi RC} = \frac{1}{2\pi\times 2\times 10^{3} \times \frac{5}{\pi}\times 10^{-6}}\nonumber\\ &=& \frac{1}{20\times 10^{-3}} = \frac{1}{2}\times 10^{2}\nonumber\\ &=& \underline{50}~\rm [Hz] \end{eqnarray} \item (2) 位相角は \begin{eqnarray} \theta &=& -\angle \left(R-j\frac{1}{2\pi Cf_{1}}\right)\nonumber\\ &=& -\angle \left(R-j\frac{1}{2\pi C\frac{1}{2\pi RC}}\right)\nonumber\\ &=& -\angle \left(R-jR\right)\nonumber\\ &=& -(-45^{\circ}) = \underline{45^{\circ}} \end{eqnarray} となる。 \end{enumerate}

\begin{enumerate} \item (1) 電圧 $V$ は \begin{eqnarray} V &=& \frac{R_{2}+\frac{1}{j\omega C}} {R_{1}+R_{2}+\frac{1}{j\omega C}}E = \frac{R_{2}-j\frac{1}{\omega C}} {R_{1}+R_{2}-j\frac{1}{\omega C}}E\nonumber\\ &=& \frac{R_{2}-j\frac{1}{2\pi f C}} {R_{1}+R_{2}-j\frac{1}{2\pi f C}}E \end{eqnarray} となり，大きさ $|V|$ は次のようになる。 \begin{eqnarray} |V| = \sqrt{ \frac{R_{2}^{2}+\left(\frac{1}{2\pi f C}\right)^{2}} {(R_{1}+R_{2})^{2}+\left(\frac{1}{2\pi f C}\right)^{2}} }|E|~~~~(1) \end{eqnarray} $f\rightarrow \infty$のとき \begin{eqnarray} |V| &=& \sqrt{ \frac{R_{2}^{2}+0} {(R_{1}+R_{2})^{2}+0} }|E| =\frac{R_{2}} {R_{1}+R_{2}}|E|\nonumber\\ &=& \frac{2} {10+2}\times 60 = 2\times 5 \nonumber\\ &=& \underline{10} ~\rm [V] \end{eqnarray} $f = 0$のときは，(1)式を変形する。 \begin{eqnarray} |V| = \sqrt{ \frac{(2\pi f C R_{2})^{2}+1} {(2\pi f C(R_{1}+R_{2}))^{2}+1} }|E| \end{eqnarray} $f = 0$ を代入すると \begin{eqnarray} |V| = \sqrt{\frac{1}{1}}|E| = |E|= \underline{60}~\rm [V] \end{eqnarray} となる。 \item (2) 図2のようになる。 \item (3) 電圧 $V$の電源電圧 $E$に対する位相角$\theta$は \begin{eqnarray} \theta &=&\angle \frac{R_{2}-j\frac{1}{\omega C}} {R_{1}+R_{2}-j\frac{1}{\omega C}}\nonumber\\ &=& \angle \left(R_{2}-j\frac{1}{\omega C}\right) -\angle \left(R_{1}+R_{2}-j\frac{1}{\omega C}\right)\nonumber\\ &=& \angle \left(R_{2}-j\frac{1}{2\pi f C}\right) -\angle \left(R_{1}+R_{2}-j\frac{1}{2\pi f C}\right)\nonumber\\ \end{eqnarray} となる。 $f = 0$ のとき， \begin{eqnarray} \theta &=& \lim_{f\rightarrow 0}\angle \left(-j\frac{1}{2\pi f C}\right) -\angle \left(-j\frac{1}{2\pi f C}\right)\nonumber\\ &=& -90^{\circ}-(-90^{\circ} ) = 0^{\circ} \end{eqnarray} となり，$f \rightarrow \infty$ のとき， \begin{eqnarray} \theta &=& \angle R_{2} -\angle \left(R_{1}+R_{2}\right) = 0^{\circ}-(0^{\circ} ) = 0^{\circ}\nonumber\\ \end{eqnarray} となる。$f$が $0\sim \infty$ の間では， \begin{eqnarray} \angle \left(R_{2}-j\frac{1}{2\pi f C}\right) - \angle \left(R_{1}+R_{2}-j\frac{1}{2\pi f C}\right)\le 0\nonumber\\ \end{eqnarray} の関係が成立するので，$\theta \le 0$ となる。 よって，図3のようになる。 %=image:/media/2014/11/21/141651780852371300.png:図2 %=image:/media/2014/11/21/141651780957710000.png:図3

電流 $I$ は \begin{eqnarray} I &=& \frac{E} {R_{1}+j\omega L + \frac{R_{2}\frac{1}{j\omega C}} {R_{2}+\frac{1}{j\omega C}} }= \frac{E} {R_{1}+j\omega L + \frac{R_{2}} {1+ j\omega CR_{2}} }\nonumber\\ &=&= \frac{E(1+ j\omega CR_{2})} {(R_{1}+j\omega L)(1+ j\omega CR_{2}) + R_{2}}\nonumber\\ &=& \frac{ E(1+ j\omega CR_{2}) } { (R_{1}+R_{2}-\omega^{2}LCR_{2}) +j\omega (L + CR_{1}R_{2}) }\nonumber\\ \end{eqnarray} となる。よって，大きさは \begin{eqnarray} |I| &=& |E|\sqrt{ \frac{1+ (\omega CR_{2})^{2} }{ (R_{1}+R_{2}-\omega^{2}LCR_{2})^{2} +\omega^{2} (L + CR_{1}R_{2})^{2} }}\nonumber\\ \end{eqnarray} となる。 $\omega\rightarrow \infty$ のとき \begin{eqnarray} |I|&=& \lim_{\omega\rightarrow \infty} |E|\sqrt{ \frac{1+ (\omega CR_{2})^{2} } { (R_{1}+R_{2}-\omega^{2}LCR_{2})^{2} +\omega^{2} (L + CR_{1}R_{2})^{2} }}\nonumber\\ &=& \lim_{\omega\rightarrow \infty} |E|\sqrt{ \frac{(\omega CR_{2})^{2} } {(-\omega^{2}LCR_{2})^{2} +\omega^{2} (L + CR_{1}R_{2})^{2} }}\nonumber\\ &=&\lim_{\omega\rightarrow \infty} |E|\sqrt{ \frac{(\omega CR_{2})^{2} }{ \omega^{4}(LCR_{2})^{2} +\omega^{2} (L + CR_{1}R_{2})^{2} }}\nonumber\\ &=& \lim_{\omega\rightarrow \infty} |E|\sqrt{ \frac{\omega^{2} (CR_{2})^{2} } {\omega^{4}(LCR_{2})^{2} }}\nonumber\\ &=& \lim_{\omega\rightarrow \infty} |E|\sqrt{ \frac{1 }{ \omega^{2}L^{2} }}\nonumber\\ &=& \lim_{\omega\rightarrow \infty} |E|\frac{1}{\omega L} = \lim_{\omega\rightarrow \infty} \frac{1}{\omega}\nonumber\\ &=&\underline{0} ~\rm [A] \end{eqnarray} $\omega = 0$ のとき \begin{eqnarray} |I| &=& |E|\sqrt{ \frac{1+0} {(R_{1}+R_{2}-0)^{2}+0 }}\nonumber\\ &=& |E|\frac{1} {R_{1}+R_{2}}\nonumber\\ &=& \frac{110}{10+1} = \underline{10} ~\rm [A] \end{eqnarray} となる。