任意の実数 $\alpha$, $\beta$ に対して, 次の式が成り立つ。 % \begin{align*} \sin(\alpha+\beta) &= \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \\ \sin(\alpha-\beta) &= \sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta} \\ \cos(\alpha+\beta) &= \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \\ \cos(\alpha-\beta) &= \cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} \\ \tan(\alpha+\beta) &= \frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}} \\ \tan(\alpha-\beta) &= \frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}} \end{align*} % これらの公式を\ommindex{加法定理}{かほうていり}という。

任意の実数 $\theta$ に対して, 次の式が成り立つ。 % \begin{align*} \sin{2\theta} &= 2\sin{\theta}\cos{\theta} \\ \cos{2\theta} &= \cos^2{\theta}-\sin^2{\theta} \\ &= 2\cos^2{\theta}-1 \\ &= 1-2\sin^2{\theta} \\ \tan{2\theta} &= \frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}} \end{align*} % これらの公式を\ommindex{2倍角の公式}{にばいかくのこうしき}という。

任意の実数 $\theta$ に対して, 次の式が成り立つ。 % \begin{align*} \sin^2{\theta} &= \frac{1}{2}(1-\cos{2\theta}) \\ \cos^2{\theta} &= \frac{1}{2}(1+\cos{2\theta}) \end{align*} % これらの公式を\ommindex{半角の公式}{はんかくのこうしき}という。

任意の実数 $\alpha$, $\beta$ に対して, 次の式が成り立つ。 % \begin{align*} \sin{\alpha}\cos{\beta} &= \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\} \\ \cos{\alpha}\sin{\beta} &= \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\} \\ \cos{\alpha}\cos{\beta} &= \frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\} \\ \sin{\alpha}\sin{\beta} &= -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\} \end{align*} % これらの公式を\ommindex{積を和・差に直す公式}{せきをわ・さになおすこうしき}という。

任意の実数 $A$, $B$ に対して, 次の式が成り立つ。 % \begin{align*} \sin{A}+\sin{B} &= 2\sin{\frac{A+B}{2}\alpha}\cos{\frac{A-B}{2}} \\ \sin{A}-\sin{B} &= 2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}} \\ \cos{A}+\cos{B} &= 2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}} \\ \cos{A}-\cos{B} &= -2\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}} \end{align*} % これらの公式を\ommindex{和・差を積に直す公式}{わ・さをせきになおすこうしき}という。

周期が等しい単振動 $\sin{x}$ と $\cos{x}$ は, 次のようにして, 1つの単振動で表すことができる。 % \begin{align*} a\sin{x}+b\cos{x} &= r\sin(x+\alpha) \\ a\cos{x}+b\sin{x} &= r\cos(x-\alpha) \end{align*} % ここで, % \begin{align*} & r=\sqrt{a^2+b^2} \\ & \cos{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \quad \sin{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{align*} % である。 これを\ommindex{単振動の合成}{たんしんどうのごうせい}という。