平面図形

座標平面上の2点 A$(x_1,y_1)$, B$(x_2,y_2)$ 間の距離を $d$ とすれば, % \begin{align*} d = \sqrt{ \left(x_2-x_1\right)^2 + \left(y_2-y_1\right)^2 } \end{align*} % が成り立つ。 とくに, 原点と点 $(x,y)$ の距離 $d$ は % \begin{align*} d = \sqrt{x^2+y^2} \end{align*} % である。 %

% 正の数 $a$, $b$, $c$, $d$ について, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ が成り立つとき, $a:b=c:d$ とかき, $a$, $b$ の\ommindex{比}{ひ}は $c$, $d$ の比に等しいという。 このとき, $\frac{a}{b}$ を $a:b$ の\ommindex{比の値}{ひのあたい}という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $m$, $n$ は正の数とする。 数直線上の2点 A, B に対して, 線分 AB 上にあって, % \begin{align*} \text{AC}:\text{CB}=m:n \end{align*} % が成り立つ点 C を, 線分 AB を $m:n$ に\ommindex{内分する点}{ないぶんするてん}という。 A, B の座標をそれぞれ $x_1$, $x_2$ とするとき, AB を $m:n$ に内分する点 C の座標を $x_0$ とすれば, $x_0$ は % \begin{align*} x_0=\frac{mx_2+nx_1}{m+n} \end{align*} % となる。 \item[(2)] $m$, $n$ は $m\ne n$ を満たす正の数とする。 数直線上の2点 A, B に対して, 数直線上の 線分 AB の外側にあって, % \begin{align*} \text{AC}:\text{CB}=m:n \end{align*} % が成り立つ点 C を, 線分 AB を $m:n$ に\ommindex{外分する点}{がいぶんするてん}という。 $m>n$ のとき, 点 C は線分 AB を B の側に延長した直線上にあり, $m<n$ のとき, A の側に延長した直線上にある。 A, B の座標をそれぞれ $x_1$, $x_2$ とするとき, AB を $m:n$ に外分する点 C の座標を $x_0$ とすれば, $x_0$ は % \begin{align*} x_0=\frac{mx_2-nx_1}{m-n} \end{align*} % となる。 \end{enumerate} %

% $f(x,y)=0$ を満たす平面上の点 P$(x,y)$ の全体を, $f(x,y)=0$ の\ommindex{軌跡}{きせき}または $f(x,y)=0$ が表す図形という。 平面上の図形が $f(x,y)=0$ の軌跡となっているとき, $f(x,y)=0$ をこの\ommindex{図形の方程式}{ずけいのほうていしき}という。 %

% 一般に, $a$, $b$, $c$ が定数のとき, 平面上の\ommindex{直線}{ちょくせん}の方程式 % \begin{align*} ax+by+c=0 \end{align*} % である。 この直線を $\ell$ とする。 $b\ne 0$ のとき, この式は % \begin{align*} y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b} \end{align*} %$ と変形することができる。 このとき, $x$ の係数 $\displaystyle m=-\frac{a}{b}$ を 直線 $\ell$ の\ommindex{傾き}{かたむき}, 定数項 $\displaystyle y_0=-\frac{c}{b}$ を 直線 $\ell$ の \ommindex{$\boldsymbol{y}$切片}{わいせっぺん}という。 %

% 平面上の定点 C$(a,b)$ からの距離が 一定値 $r$ である\ommindex{円}{えん}の方程式は % \begin{align*} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \end{align*} % である。 とくに, 原点を中心とする半径 $r$ の円の方程式は % \begin{align*} x^2+y^2=r^2 \end{align*} % である。 %

% 一般に, 不等式 $f(x,y)>0$, $f(x,y)<0$, $f(x,y)\ge 0$, $f(x,y)\le 0$ が満たす点全体の集合は, 平面上の広がりをもった部分となる。 これを\ommindex{不等式が表す領域}{ふとうしきがあらわすりょういき}という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 不等式 $y>2x+1$ が表す領域は直線 $y=2x+1$ より上側の部分, $y<2x+1$ の表す領域は直線 $y=2x+1$ より下側の部分である。 \item[(2)] 不等式 $x^2+y^2<4$ が表す領域は円 $x^2+y^2=4$ の内部, $x^2+y^2>4$ が表す領域は円 $x^2+y^2=4$ の外部である。 \item[(3)] 連立不等式 $\left\{\begin{array}{l} y>2x+1 \\ x^2+y^2<4 \end{array}\right.$ が表す領域は, $y>2x+1$, $x^2+y^2<4$ のそれぞれが表す領域の共通部分であり, 円 $x^2+y^2=4$ の内部で直線 $y=2x+1$ より上にある点集合となる。 \end{enumerate} % %