2点間の距離
座標平面上の2点 A$(x_1,y_1)$,
B$(x_2,y_2)$ 間の距離を $d$ とすれば,
%
\begin{align*}
d
=
\sqrt{
\left(x_2-x_1\right)^2
+
\left(y_2-y_1\right)^2
}
\end{align*}
%
が成り立つ。
とくに,
原点と点 $(x,y)$ の距離 $d$ は
%
\begin{align*}
d
=
\sqrt{x^2+y^2}
\end{align*}
%
である。
%
比
%
正の数 $a$, $b$, $c$, $d$ について,
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ が成り立つとき,
$a:b=c:d$ とかき,
$a$, $b$ の\ommindex{比}{ひ}は $c$, $d$ の比に等しいという。
このとき,
$\frac{a}{b}$ を $a:b$ の\ommindex{比の値}{ひのあたい}という。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$m$, $n$ は正の数とする。
数直線上の2点 A, B に対して,
線分 AB 上にあって,
%
\begin{align*}
\text{AC}:\text{CB}=m:n
\end{align*}
%
が成り立つ点 C を,
線分 AB を $m:n$ に\ommindex{内分する点}{ないぶんするてん}という。
A, B の座標をそれぞれ $x_1$, $x_2$ とするとき,
AB を $m:n$ に内分する点 C の座標を $x_0$ とすれば,
$x_0$ は
%
\begin{align*}
x_0=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}
\end{align*}
%
となる。
\item[(2)]
$m$, $n$ は $m\ne n$ を満たす正の数とする。
数直線上の2点 A, B に対して,
数直線上の 線分 AB の外側にあって,
%
\begin{align*}
\text{AC}:\text{CB}=m:n
\end{align*}
%
が成り立つ点 C を,
線分 AB を $m:n$ に\ommindex{外分する点}{がいぶんするてん}という。
$m>n$ のとき,
点 C は線分 AB を B の側に延長した直線上にあり,
$m<n$ のとき,
A の側に延長した直線上にある。
A, B の座標をそれぞれ $x_1$, $x_2$ とするとき,
AB を $m:n$ に外分する点 C の座標を $x_0$ とすれば,
$x_0$ は
%
\begin{align*}
x_0=\frac{mx_2-nx_1}{m-n}
\end{align*}
%
となる。
\end{enumerate}
%
図形の方程式
%
$f(x,y)=0$ を満たす平面上の点 P$(x,y)$ の全体を,
$f(x,y)=0$ の\ommindex{軌跡}{きせき}または
$f(x,y)=0$ が表す図形という。
平面上の図形が $f(x,y)=0$ の軌跡となっているとき,
$f(x,y)=0$ をこの\ommindex{図形の方程式}{ずけいのほうていしき}という。
%
直線
%
一般に,
$a$, $b$, $c$ が定数のとき,
平面上の\ommindex{直線}{ちょくせん}の方程式
%
\begin{align*}
ax+by+c=0
\end{align*}
%
である。
この直線を $\ell$ とする。
$b\ne 0$ のとき,
この式は
%
\begin{align*}
y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}
\end{align*}
%$
と変形することができる。
このとき,
$x$ の係数 $\displaystyle m=-\frac{a}{b}$ を
直線 $\ell$ の\ommindex{傾き}{かたむき},
定数項 $\displaystyle y_0=-\frac{c}{b}$ を
直線 $\ell$ の \ommindex{$\boldsymbol{y}$切片}{わいせっぺん}という。
%
円
%
平面上の定点 C$(a,b)$ からの距離が
一定値 $r$ である\ommindex{円}{えん}の方程式は
%
\begin{align*}
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
\end{align*}
%
である。
とくに,
原点を中心とする半径 $r$ の円の方程式は
%
\begin{align*}
x^2+y^2=r^2
\end{align*}
%
である。
%
不等式と領域
%
一般に,
不等式 $f(x,y)>0$,
$f(x,y)<0$,
$f(x,y)\ge 0$,
$f(x,y)\le 0$ が満たす点全体の集合は,
平面上の広がりをもった部分となる。
これを\ommindex{不等式が表す領域}{ふとうしきがあらわすりょういき}という。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
不等式 $y>2x+1$ が表す領域は直線 $y=2x+1$ より上側の部分,
$y<2x+1$ の表す領域は直線 $y=2x+1$ より下側の部分である。
\item[(2)]
不等式 $x^2+y^2<4$ が表す領域は円 $x^2+y^2=4$ の内部,
$x^2+y^2>4$ が表す領域は円 $x^2+y^2=4$ の外部である。
\item[(3)]
連立不等式 $\left\{\begin{array}{l}
y>2x+1
\\
x^2+y^2<4
\end{array}\right.$ が表す領域は,
$y>2x+1$,
$x^2+y^2<4$ のそれぞれが表す領域の共通部分であり,
円 $x^2+y^2=4$ の内部で直線 $y=2x+1$ より上にある点集合となる。
\end{enumerate}
%
%