線形変換
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ベクトル空間 $V$ から $V$ への線形写像 $\varphi$ を,
$V$ 上の\ommindex{線形変換}{せんけいへんかん}という。
任意の $\vt{x}$ に対して,
$\vt{x}$ 自身を対応させる線形変換 $I$ を
\ommindex{恒等変換}{こうとうへんかん}という。
$n$ 次元ベクトル空間 $V$ の基底を定めるとき,
この基底に関する $\varphi$ の表現行列 $A$ は $n$ 次正方行列になる。
$\varphi$ が全単射であるための必要十分条件は,
表現行列 $A$ が正則となることである。
とくに,
恒等変換の表現行列は単位行列となる。
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合成変換と逆変換
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$\varphi$,
$\psi$ が $V$ 上の線形変換であるとき,
$\vt{x}$ に対して $\psi(\varphi(\vt{x})$ を対応させる線形変換を,
$\varphi$ と $\psi$ の\ommindex{合成変換}{ごうせいへんかん}といい,
$\psi\circ\varphi$ と表す。
すなわち,
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\begin{align*}
\psi\circ\varphi(\vt{x})=\psi(\varphi(\vt{x})
\end{align*}
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である。
$\varphi$ の表現行列を $A$,
$\psi$ の表現行列を $B$ とするとき,
合成変換 $\psi\circ\varphi$ の表現行列は $BA$ である。
$V$ 上の線形変換 $\varphi$ が全単射であるとき,
任意の $\vt{x}\in V$ について
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\begin{align*}
\psi\circ\varphi(\vt{x})
=\varphi\circ\psi(\vt{x})
=\vt{x}
\end{align*}
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を満たす線形変換 $\psi$ がただ1つ存在する。
これを $\varphi$ の\ommindex{逆変換}{ぎゃくへんかん}といい,
$\psi=\varphi^{-1}$ と表す。
$\varphi$ が全単射であれば $\varphi$ の表現行列 $A$ は正則で,
逆変換 $\varphi^{-1}$ の表現行列は $A^{-1}$ である。
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直交変換
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正方行列 $A$ が
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\begin{align*}
A^{-1}={}^tA
\end{align*}
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を満たすとき,
$A$ を\ommindex{直交行列}{ちょっこうぎょうれつ}という。
直交行列を表現行列とする線形変換 $\varphi$ を
\ommindex{直交変換}{ちょっこうへんかん}という。
直交変換は内積を保つ。
すなわち,
任意のベクトル $\vt{x}$ について,
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\begin{align*}
\varphi(\vt{x})\boldsymbol{\cdot}\varphi(\vt{y})
=
\vt{x}\boldsymbol{\cdot}\vt{y}
\end{align*}
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が成り立つ。
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