$(1)$ 部材ACに生じる軸力を$N_{\textrm{AC}}$，部材BCに生じる軸力を$N_{\textrm{BC}}$とする． %=image:/media/2015/01/15/142125399549906000.png: 軸力を三角関数を用いて水平方向と鉛直方向とに分解して，点$\rm{C}$での力のつり合い式を考えると， 水平方向 % \begin{equation} -N_{\textrm{AC}}\cos{30^\circ}+(-N_{\textrm{BC}})=0 \hspace{30px}\cdots(1)' \end{equation} % 鉛直方向 % \begin{equation} N_{\textrm{AC}}\sin{30^\circ}+(-P)=0 \hspace{30px}\cdots(2)' \end{equation} % の$2$式が得られる． これらの連立方程式を解くと，まず$(2)'$から， \[ N_{\textrm{AC}}=\frac{P}{\sin{30^\circ}} \] が得られ，これを$(1)'$に代入して， \[ N_{\textrm{BC}}=-\frac{P}{\tan{30^\circ}} \] 部材に生じる応力は軸力を断面積で割ればよいので， 部材$\rm{AC}$に生じる応力$\sigma_{\textrm{AC}}$は， \[ \sigma_{\textrm{AC}}=\frac{N_{\textrm{AC}}}{A}=\frac{P}{A\times\sin{30^\circ}} \] 部材$\rm{BC}$に生じる応力$\sigma_{\textrm{BC}}$は， \[ \sigma_{\textrm{BC}}=\frac{N_{\textrm{BC}}}{A}=-\frac{P}{A\times\tan{30^\circ}} \] と求まる． $(2)$ 断面積$A$，長さ$L$，ヤング率$E$の部材に軸力$N$が働くときのひずみエネルギー$U$は， \[ U=\frac{N^2L}{2AE} \] で求められる． さらに，カスチリアノの定理を用いると，荷重$P$が作用する点の，荷重負荷方向の変位$\delta$が求まる． カスチリアノの定理は，ひずみエネルギーを荷重$P$で微分すればよい（合成関数の導関数）ので， \[ \delta=\frac{\partial{U}}{\partial{P}}=\frac{\partial{U}}{\partial{N}}\frac{\partial{N}}{\partial{P}}=\frac{NL}{AE}\frac{\partial{N}}{\partial{P}} \] で求まる。 題意より， \begin{align} \delta &= \frac{\partial{U}}{\partial{P}}\\ &=\frac{\partial{}}{\partial{P}}\left(U_{\textrm{AC}}+U_{\textrm{BC}}\right)\\ &=\frac{\partial{U_{\textrm{AC}}}}{\partial{P}}+\frac{\partial{U_{\textrm{BC}}}} {\partial{P}}\\ &=\frac{\partial{U_{\textrm{AC}}}}{\partial{N_{\textrm{AC}}}}\frac{\partial{N_{\textrm{AC}}}} {\partial{P}}+\frac{\partial{U_{\textrm{BC}}}}{\partial{N_{\textrm{BC}}}}\frac{\partial{N_{\textrm{BC}}}} {\partial{P}}\\ &=\frac{N_{\textrm{AC}}L_{\textrm{AC}}}{AE}\frac{\partial{N_{\textrm{AC}}}} {\partial{P}}+\frac{N_{\textrm{BC}}L_{\textrm{BC}}}{AE}\frac{\partial{N_{\textrm{BC}}}} {\partial{P}}\\ &=\frac{\left(\frac{P}{\sin{30^\circ}}\right)}{AE}\frac{L}{\cos{30^\circ}}\frac{\partial{N_{\textrm{AC}}}} {\partial{P}}+\frac{\left(\frac{-P}{\tan{30^\circ}}\right)L}{AE}\frac{\partial{N_{\textrm{BC}}}} {\partial{P}}\\ &=\frac{\left(\frac{P}{\sin{30^\circ}}\right)}{AE}\frac{L}{\cos{30^\circ}}\frac{1} {\sin{30^\circ}}+\frac{\left(\frac{-P}{\tan{30^\circ}}\right)L}{AE}\frac{-1} {\tan{30^\circ}}\\ &=\frac{PL}{AE}\left(\frac{1}{\sin^230^\circ\cos{30^\circ}}+\frac{1}{\tan^2{30^\circ}}\right)\\ &=\frac{PL}{AE}\left(\frac{1+\cos^330^\circ}{\sin^230^\circ\cos{30^\circ}}\right) \end{align} $(3)$ \[ \delta=\frac{PL}{AE}\left(\frac{1+\cos^330^\circ}{\sin^230^\circ\cos{30^\circ}}\right)\\ =\frac{5\times10^3\times4}{100\times10^{-6}\times206\times10^9}\times\left(\frac{1+\cos^330^\circ}{\sin^230^\circ\cos30^\circ}\right)\\ =7.396895295\times10^{-3}\ \rm{m} \]

$(1)$ このときの応力を求めよ． \[ \begin{align} \sigma&=\frac{P}{A}\\ &=\frac{3000\times9.8}{\frac{\pi}{4}\times20^2}\\ &=93.583\\ &=93.6\ \rm{MPa} \end{align} \] $(2)$ このときのひずみを求めよ． \[ \begin{align} \epsilon&=\frac{\delta}{l}\\ &=\frac{200.24-200}{200}\\ &=1.2\times10^{-3} \end{align} \] $(3)$ このときの直径を求めよ(可能な限り最小位まで求めよ)． \[ \begin{align} \nu&=-\frac{\epsilon'}{\epsilon}=0.3\hspace{20px}より\\ \epsilon'&=-0.3\times\epsilon=-0.3\times1.2\times10^{-3}=3.6\times10^{-4}\\ d'&=d-d\times\epsilon'=20-20\times3.6\times10^{-4}=19.9928\,\rm{mm}\\ \end{align} \] $(4)$ この材料のヤング率を求めよ． \[ \begin{align} E&=\frac{\sigma}{\epsilon}\\ &=\frac{93.6}{1.2\times10^{-3}}\\ &=78\ \rm{GPa}\\ \end{align} \]

\[ \begin{align} \sigma&\ge\frac{P\times S}{n\times\frac{\pi}{4}d^2}\\ &=\frac{8000\times4}{n\times\frac{\pi}{4}\times\left(12\times10^{-3}\right)^2}\\ &=20\ \rm{MPa}\hspace{30px}より\\ \end{align} \] \[ n\ge14.147\\ \] \[ \therefore n=15\ 本 \]

部材$\rm{AC}$，$\rm{BC}$に発生する軸力を$N_1$，$N_2$として$\rm{C}$点での力のつり合いを考えると, (水平方向) $(1)$ \[ -N_1\cos\theta+N_2\cos\theta=0\\ \] (鉛直方向) $(2)$ \[ -N_1\sin\theta-N_2\sin\theta-P=0\\ \] これらを解くと, $(3)$ \[ -\frac{P}{2\sin\theta}\\ \] ここで，"弾性ひずみエネルギー"とは外力がなす $(4)$ \[ 仕事\\ \]である． 断面積$A$,ヤング率$E$,部材の長さ$L$,軸力$N$のとき，弾性ひずみエネルギーは，公式より， $(5)$ \[ \frac{N^2L}{2AE} \] である．本問題において，各部材の長さは， $(6)$ \[ \frac{L}{\cos\theta} \] と表されるので，部材1本に貯えられる弾性ひずみエネルギーは， $(7)$ \[ \frac{P^2L}{8AE\sin^2\theta\cos\theta} \] である． 同じ軸力が働く同じ部材が$2$本あるので$(7)\times2$でトラス構造全体に貯えられる弾性エネルギーが求まった．

%=image:/media/2015/01/15/142125437266582000.png: 力のつり合い式より， \[\left\{\begin{array}{} (水平方向)\hspace{20px}\underline{-N_{AC}-N_{BC}\cos\theta=0} \\ (鉛直方向)\hspace{20px}\underline{-N_{BC}\sin\theta-P=0} \end{array}\right. \] ここで，幾何学的な関係から，$\sin\theta=\frac{3}{5},\ \cos\theta=\frac{4}{5},\ \tan\theta=\frac{3}{4}\hspace{10px}$である． これらを解いて軸力は， \[ \begin{align} N_{BC}&=-\frac{P}{\sin\theta}=-\frac{12000}{\frac{3}{5}}=\underline{-20000\ \rm{N}}\\ N_{AC}&=-N_{BC}\cos\theta=\underline{20000\times\frac{4}{5}=16000\ \rm{N}} \end{align} \] したがって，各部材に働く応力は， \[ \begin{align} \sigma_{AC}&=\frac{N_{AC}}{A_{AC}}=\frac{16000}{160}=\underline{100\ \rm{MPa}}\\ \sigma_{BC}&=\frac{N_{BC}}{A_{BC}}=\frac{-20000}{100}=\underline{-200\ \rm{MPa}} \end{align} \] 変位を求める公式より,各部材の伸び縮み量は， \[ \begin{align} \delta_{AC}&=\frac{N_{AC}L_{AC}}{A_{AC}E_{AC}}=\frac{16000\times4}{160\times10^{-6}\times200\times10^9}=\underline{2.0\times10^{-3}\ \rm{m}}\\ \delta_{BC}&=\frac{N_{BC}L_{BC}}{A_{BC}E_{BC}}=\frac{-20000\times5}{100\times10^{-6}\times80\times10^9}=\underline{-1.25\times10^{-2}\ \rm{m}} \end{align} \] %=image:/media/2015/01/15/142125437340436800.png: ここで，$\rm{C}$点の移動を幾何学的に近似に求める． 水平方向の変位は,$\hspace{40px}\delta_H=\delta_{AC}=\underline{2\ \rm{mm}}$ 鉛直方向の変位は,下記のどちらでもよい． \[ \begin{align} \hspace{40px}\delta_V&=\delta_{BC}\sin\theta+\frac{\delta_{BC}\cos\theta+\delta_{AC}}{\tan\theta}\\ &=12.5\times\frac{3}{5}+\frac{12.5\times\frac{4}{5}+2}{\frac{3}{4}}\\ &=\underline{23.5\ \rm{mm}}\\\\ \hspace{40px}\delta_V&=\frac{\frac{\delta_{BC}}{\cos\theta}+\delta_{AC}}{\tan\theta}\\ &=\frac{\frac{12.5}{\left(\frac{4}{5}\right)}+2}{\frac{3}{4}}\\ &=\underline{23.5\ \rm{mm}} \end{align} \]