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例題集 / 電気・電子 / 電気回路 / 交流の表示法
次の複素数表示のインピーダンス $\dot{Z}$ をフェーザ表示(極表示) $Z\angle
\theta_{Z}$ の形に変換せよ。
ただし，偏角は図を描いて求めること。
\begin{eqnarray*}
\dot{Z} = -10+j10\sqrt{3}~[\Omega]
\end{eqnarray*}
%=image:/media/2014/11/20/141642842125674200.png:
解答例・解説
\reff{大きさ}{複素数の絶対値}と\reff{偏角}{複素数の偏角}は次のようになる。偏角は，図を描いて判断する。
\begin{eqnarray}
&&\hspace{-8ex}Z = \sqrt{(-10)^{2}+(-10\sqrt{3})^{2}}
= \sqrt{400} = 20\\
&&\hspace{-8ex}\theta_{Z} = 120^{\circ}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
\underline{\dot{Z} = 20\angle 120^{\circ}~[\Omega]}
\end{eqnarray}
となる。
%=image:/media/2014/11/20/141642842127518300.png:
交流の表示法（加減算）
知識・記憶レベル
難易度: ★
次の計算を行い，フェーザ表示で示せ。
ただし，偏角は図を描いて求めること。
\begin{eqnarray*}
\dot{Z} = -5-j5 + 5\sqrt{2}\angle (-45^{\circ})
\end{eqnarray*}
%=image:/media/2014/11/20/141642884182438100.png:
解答例・解説
複素数表示にする。
\begin{eqnarray}
5\sqrt{2}\angle (-45^{\circ})
&=& 5\sqrt{2}\left(\cos (-45^{\circ}) + j\sin (-45^{\circ})\right)\nonumber\\
&=& 5\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-
j\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\nonumber\\
&=& 5-j5
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
\dot{Z} = -5-j5 + 5 - j5 = -j10
\end{eqnarray}
となる。\reff{大きさ}{複素数の絶対値}と\reff{偏角}{複素数の偏角}は次のようになる。偏角は，図を描いて判断する。
\begin{eqnarray}
&&\hspace{-8ex}Z = \sqrt{(10)^{2}} = 10\\
&&\hspace{-8ex}\theta_{Z} = -90^{\circ}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
\underline{\dot{Z} = 10\angle (-90)^{\circ}~[\Omega]}
\end{eqnarray}
となる。
%=image:/media/2014/11/20/141642884183297100.png:
交流の表示法（乗算）
知識・記憶レベル
難易度: ★
次の計算を行い，フェーザ表示で示せ。
\begin{eqnarray*}
\dot{Z} = (5\sqrt{3}+j5)\times 10\angle (-60^{\circ})
\end{eqnarray*}
解答例・解説
$\dot{Y} = 5\sqrt{3}+j5$ とおき，フェーザ表示にする。
\reff{大きさ}{複素数の絶対値}と\reff{偏角}{複素数の偏角}は次のようになる。
\begin{eqnarray}
&&\hspace{-8ex}Y = \sqrt{(5\sqrt{3})^{2}+(5)^{2}} = \sqrt{100} = 10\\
&&\hspace{-8ex}\theta_{Y} = 30^{\circ}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\dot{Y} = 10\angle 30^{\circ}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray*}
\dot{Z} &=&10\angle 30^{\circ}\times 10\angle (-60^{\circ})
=100\angle (30^{\circ}-60^{\circ})\nonumber\\
&=&\underline{100\angle (-30^{\circ})}
\end{eqnarray*}
%=image:/media/2014/11/20/141642898383992500.png:
交流の表示法（除算）
知識・記憶レベル
難易度: ★
次の計算を行い，フェーザ表示で示せ。
\begin{eqnarray*}
\dot{Z} = \frac{5+j5\sqrt{3}}{10\angle (-60^{\circ})}
\end{eqnarray*}
解答例・解説
$\dot{Y} = 5+j5\sqrt{3}$ とおき，フェーザ表示にする。
\reff{大きさ}{複素数の絶対値}と\reff{偏角}{複素数の偏角}は次のようになる。
\begin{eqnarray}
&&\hspace{-8ex}Y = \sqrt{(5\sqrt{3})^{2}+(5)^{2}} = \sqrt{100} = 10\\
&&\hspace{-8ex}\theta_{Y} = 60^{\circ}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\dot{Y} = 10\angle 60^{\circ}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray*}
\dot{Z} &=& \frac{10\angle 60^{\circ}}{10\angle (-60^{\circ})}
= \underline{1\angle (60^{\circ}-(-60^{\circ})) = 1\angle 120^{\circ}}
\end{eqnarray*}
%=image:/media/2014/11/20/141642911181984700.png:
図のように, 周波数 \(f = 50\) [Hz] の電源\(E=100\sqrt{2}\sin\omega t \) [V], 抵抗 \(R=100~[\Omega]\), コイル \(L=\frac{1}{\pi}\) [H] から成る\(RL\)回路がある。回路に流れる電流 \(I\)[A]を求めよ.
%=image:/media/2014/03/05/139399721368651100.png:
解答例・解説
\(E\) をフェーザ表示すると
\begin{align}
E = 100\angle 0^{\circ}
\end{align}
となる. 次に, 回路のインピーダンス\(Z\) は,
\begin{align}
Z = R + j\omega L = 100 + j2\pi \times 50\times \frac{1}{\pi}
= 100 + j100 = 100\sqrt{2}\angle 45^{\circ}
\end{align}
となる。よって，オームの法則から電流は次のように求まる。
\begin{align}
I = \frac{E}{Z} = \frac{100\angle 0^{\circ}}{100\sqrt{2}\angle 45^{\circ}}
= \frac{1}{\sqrt{2}}\angle -45^{\circ} = \sin(\omega t -45^{\circ})~[\rm A]
\end{align}
周波数と周期，実効値と平均値
知識・記憶レベル
難易度: ★
次の交流について，以下の問いに答えよ。
\begin{eqnarray*}
v = 100\sqrt{2}\sin \Bigl(10\pi t + \frac{\pi}{3}\Bigr)
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item
(1) 周波数 [Hz]を答えよ。
\item
(2) 周期 [s]を答えよ。
\item
(3) 実効値を答えよ。
\item
(4) 平均値を答えよ。
\end{enumerate}
解答例・解説
\begin{enumerate}
\item
(1) $\dfrac{10\pi}{2\pi} = \underline{5}$ [Hz]
\item
(2) $\dfrac{1}{5} = \underline{0.2}$ {\rm [s]}
\item
(3) $\dfrac{100\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \underline{100}$ {\rm [V]}
\item
(4) $\dfrac{2}{\pi}100\sqrt{2} = \underline{\dfrac{200\sqrt{2}}{\pi}}$ {\rm [V]}
\end{enumerate}
図の正弦波の電圧 $v$ と電流 $i$ とでは，$v$ は $i$ より位
相がいくら進んでいる，または遅れているか答えよ。
%=image:/media/2014/11/20/141642991122425500.png:
解答例・解説
$v$ は $i$ より位相が $90^{\circ}$ 遅れている。
瞬時値からフェーザ表示
知識・記憶レベル
難易度: ★
次の交流について，以下の問いに答えよ。
\begin{eqnarray*}
v = 200\sqrt{2}\sin \left(120\pi t + 30^{\circ}\right)
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item
(1) フェーザ表示を求めよ。
\item
(2) フェーザ図を描け。
\end{enumerate}
解答例・解説
\begin{enumerate}
\item
大きさは実効値より
\begin{eqnarray}
\frac{200\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =200
\end{eqnarray}
位相は，$30^{\circ}$ より
\begin{eqnarray}
\underline{200\angle 30^{\circ}}
\end{eqnarray}
となる。
\item
(2) フェーザ図は図のようになる。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/20/141643011103786400.png:
フェーザ表示から瞬時値
知識・記憶レベル
難易度: ★
次のフェーザ表示について，以下の問いに答えよ。
\begin{eqnarray*}
\dot{V} = 20\angle (-90^{\circ})~\rm [V]
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
(1) 瞬時値で表せ。ただし，周波数 $f =50$ [Hz] とする。
\item
(2) 瞬時値の波形を描け。
\end{enumerate}
解答例・解説
\begin{enumerate}
(1) 最大値は $20\sqrt{2}$ であり，
角周波数 $\omega = 2\pi \times 50 = 100\pi$より
\begin{eqnarray}
\underline{v = 20\sqrt{2}\sin \left(100\pi t -90^{\circ}\right)}~ \rm [V]
\end{eqnarray}
\item
(2) 図のようになる。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/20/141643036768335400.png:
複素数表示から瞬時値
知識・記憶レベル
難易度: ★
次の複素数表示について，以下の問いに答えよ。
\begin{eqnarray*}
\dot{V} = 10 - j10
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item
(1) 瞬時値で表せ。ただし，周波数 $f = 50$ [Hz] とする。
\item
(2) フェーザ図を描け。
\end{enumerate}
解答例・解説
\begin{enumerate}
\item
(1) 大きさは，
\begin{eqnarray}
\sqrt{10^{2}+(-10)^{2}} = 10\sqrt{2}
\end{eqnarray}
から最大値は，
\begin{eqnarray}
10\sqrt{2}\times \sqrt{2} = 20
\end{eqnarray}
となる。
位相は，図1より $-45^{\circ}$ となる。
角周波数は，$\omega =2\pi\times 50 = 100\pi$ より
瞬時値は，次のようになる。
\begin{eqnarray}
\underline{20\sin \left(100\pi t -45^{\circ}\right)}
\end{eqnarray}
\item
(2) (1)よりフェーザ表示は，
\begin{eqnarray}
10\sqrt{2}\angle -45^{\circ}
\end{eqnarray}
となるからフェーザ図は図2のようになる。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/20/141643063028954900.png:図1
%=image:/media/2014/11/20/141643063029023300.png:図2