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例題集 / 電気・電子 / 電気回路 / 交流の表示法

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交流の表示法

知識・記憶レベル   難易度:
次の複素数表示のインピーダンス $\dot{Z}$ をフェーザ表示(極表示) $Z\angle \theta_{Z}$ の形に変換せよ。 ただし,偏角は図を描いて求めること。 \begin{eqnarray*} \dot{Z} = -10+j10\sqrt{3}~[\Omega] \end{eqnarray*} %=image:/media/2014/11/20/141642842125674200.png:

解答例・解説

\reff{大きさ}{複素数の絶対値}と\reff{偏角}{複素数の偏角}は次のようになる。偏角は,図を描いて判断する。 \begin{eqnarray} &&\hspace{-8ex}Z = \sqrt{(-10)^{2}+(-10\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{400} = 20\\ &&\hspace{-8ex}\theta_{Z} = 120^{\circ} \end{eqnarray} よって, \begin{eqnarray} \underline{\dot{Z} = 20\angle 120^{\circ}~[\Omega]} \end{eqnarray} となる。 %=image:/media/2014/11/20/141642842127518300.png:

交流の表示法(加減算)

知識・記憶レベル   難易度:
次の計算を行い,フェーザ表示で示せ。 ただし,偏角は図を描いて求めること。 \begin{eqnarray*} \dot{Z} = -5-j5 + 5\sqrt{2}\angle (-45^{\circ}) \end{eqnarray*} %=image:/media/2014/11/20/141642884182438100.png:

解答例・解説

複素数表示にする。 \begin{eqnarray} 5\sqrt{2}\angle (-45^{\circ}) &=& 5\sqrt{2}\left(\cos (-45^{\circ}) + j\sin (-45^{\circ})\right)\nonumber\\ &=& 5\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}- j\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\nonumber\\ &=& 5-j5 \end{eqnarray} よって, \begin{eqnarray} \dot{Z} = -5-j5 + 5 - j5 = -j10 \end{eqnarray} となる。\reff{大きさ}{複素数の絶対値}と\reff{偏角}{複素数の偏角}は次のようになる。偏角は,図を描いて判断する。 \begin{eqnarray} &&\hspace{-8ex}Z = \sqrt{(10)^{2}} = 10\\ &&\hspace{-8ex}\theta_{Z} = -90^{\circ} \end{eqnarray} よって, \begin{eqnarray} \underline{\dot{Z} = 10\angle (-90)^{\circ}~[\Omega]} \end{eqnarray} となる。 %=image:/media/2014/11/20/141642884183297100.png:

交流の表示法(乗算)

知識・記憶レベル   難易度:
次の計算を行い,フェーザ表示で示せ。 \begin{eqnarray*} \dot{Z} = (5\sqrt{3}+j5)\times 10\angle (-60^{\circ}) \end{eqnarray*}

解答例・解説

$\dot{Y} = 5\sqrt{3}+j5$ とおき,フェーザ表示にする。 \reff{大きさ}{複素数の絶対値}と\reff{偏角}{複素数の偏角}は次のようになる。 \begin{eqnarray} &&\hspace{-8ex}Y = \sqrt{(5\sqrt{3})^{2}+(5)^{2}} = \sqrt{100} = 10\\ &&\hspace{-8ex}\theta_{Y} = 30^{\circ} \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \dot{Y} = 10\angle 30^{\circ} \end{eqnarray} よって, \begin{eqnarray*} \dot{Z} &=&10\angle 30^{\circ}\times 10\angle (-60^{\circ}) =100\angle (30^{\circ}-60^{\circ})\nonumber\\ &=&\underline{100\angle (-30^{\circ})} \end{eqnarray*} %=image:/media/2014/11/20/141642898383992500.png:

交流の表示法(除算)

知識・記憶レベル   難易度:
次の計算を行い,フェーザ表示で示せ。 \begin{eqnarray*} \dot{Z} = \frac{5+j5\sqrt{3}}{10\angle (-60^{\circ})} \end{eqnarray*}

解答例・解説

$\dot{Y} = 5+j5\sqrt{3}$ とおき,フェーザ表示にする。 \reff{大きさ}{複素数の絶対値}と\reff{偏角}{複素数の偏角}は次のようになる。 \begin{eqnarray} &&\hspace{-8ex}Y = \sqrt{(5\sqrt{3})^{2}+(5)^{2}} = \sqrt{100} = 10\\ &&\hspace{-8ex}\theta_{Y} = 60^{\circ} \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \dot{Y} = 10\angle 60^{\circ} \end{eqnarray} よって, \begin{eqnarray*} \dot{Z} &=& \frac{10\angle 60^{\circ}}{10\angle (-60^{\circ})} = \underline{1\angle (60^{\circ}-(-60^{\circ})) = 1\angle 120^{\circ}} \end{eqnarray*} %=image:/media/2014/11/20/141642911181984700.png:

RL直列回路

知識・記憶レベル   難易度:
図のように, 周波数 \(f = 50\) [Hz] の電源\(E=100\sqrt{2}\sin\omega t \) [V], 抵抗 \(R=100~[\Omega]\), コイル \(L=\frac{50}{\pi}\) [H] から成る\(RL\)回路がある。回路に流れる電流 \(I\)[A]を求めよ. %=image:/media/2014/03/05/139399721368651100.png:

解答例・解説

\(E\) をフェーザ表示すると \begin{align} E = 100\angle 0^{\circ} \end{align} となる. 次に, 回路のインピーダンス\(Z\) は, \begin{align} Z = R + j\omega L = 100 + j2\pi \times \frac{50}{\pi} = 100 + j100 = 100\sqrt{2}\angle 45^{\circ} \end{align} となる。よって,オームの法則から電流は次のように求まる。 \begin{align} I = \frac{E}{Z} = \frac{100\angle 0^{\circ}}{100\sqrt{2}\angle 45^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\angle -45^{\circ} = \sin(\omega t -45^{\circ})~[\rm A] \end{align}

周波数と周期,実効値と平均値

知識・記憶レベル   難易度:
次の交流について,以下の問いに答えよ。 \begin{eqnarray*} v = 100\sqrt{2}\sin \Bigl(10\pi t + \frac{\pi}{3}\Bigr) \end{eqnarray*} \begin{enumerate} \item (1) 周波数 [Hz]を答えよ。 \item (2) 周期 [s]を答えよ。 \item (3) 実効値を答えよ。 \item (4) 平均値を答えよ。 \end{enumerate}

解答例・解説

\begin{enumerate} \item (1) $\dfrac{10\pi}{2\pi} = \underline{5}$ [Hz] \item (2) $\dfrac{1}{5} = \underline{0.2}$ {\rm [s]} \item (3) $\dfrac{100\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \underline{100}$ {\rm [V]} \item (4) $\dfrac{2}{\pi}100\sqrt{2} = \underline{\dfrac{200\sqrt{2}}{\pi}}$ {\rm [V]} \end{enumerate}

位相進み-遅れ

知識・記憶レベル   難易度:
図の正弦波の電圧 $v$ と電流 $i$ とでは,$v$ は $i$ より位 相がいくら進んでいる,または遅れているか答えよ。 %=image:/media/2014/11/20/141642991122425500.png:

解答例・解説

$v$ は $i$ より位相が $90^{\circ}$ 遅れている。

瞬時値からフェーザ表示

知識・記憶レベル   難易度:
次の交流について,以下の問いに答えよ。 \begin{eqnarray*} v = 200\sqrt{2}\sin \left(120\pi t + 30^{\circ}\right) \end{eqnarray*} \begin{enumerate} \item (1) フェーザ表示を求めよ。 \item (2) フェーザ図を描け。 \end{enumerate}

解答例・解説

\begin{enumerate} \item 大きさは実効値より \begin{eqnarray} \frac{200\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =200 \end{eqnarray} 位相は,$30^{\circ}$ より \begin{eqnarray} \underline{200\angle 30^{\circ}} \end{eqnarray} となる。 \item (2) フェーザ図は図のようになる。 \end{enumerate} %=image:/media/2014/11/20/141643011103786400.png:

フェーザ表示から瞬時値

知識・記憶レベル   難易度:
次のフェーザ表示について,以下の問いに答えよ。 \begin{eqnarray*} \dot{V} = 20\angle (-90^{\circ})~\rm [V] \end{eqnarray*} \begin{enumerate} (1) 瞬時値で表せ。ただし,周波数 $f =50$ [Hz] とする。 \item (2) 瞬時値の波形を描け。 \end{enumerate}

解答例・解説

\begin{enumerate} (1) 最大値は $20\sqrt{2}$ であり, 角周波数 $\omega = 2\pi \times 50 = 100\pi$より \begin{eqnarray} \underline{v = 20\sqrt{2}\sin \left(100\pi t -90^{\circ}\right)}~ \rm [V] \end{eqnarray} \item (2) 図のようになる。 \end{enumerate} %=image:/media/2014/11/20/141643036768335400.png:

複素数表示から瞬時値

知識・記憶レベル   難易度:
次の複素数表示について,以下の問いに答えよ。 \begin{eqnarray*} \dot{V} = 10 - j10 \end{eqnarray*} \begin{enumerate} \item (1) 瞬時値で表せ。ただし,周波数 $f = 50$ [Hz] とする。 \item (2) フェーザ図を描け。 \end{enumerate}

解答例・解説

\begin{enumerate} \item (1) 大きさは, \begin{eqnarray} \sqrt{10^{2}+(-10)^{2}} = 10\sqrt{2} \end{eqnarray} から最大値は, \begin{eqnarray} 10\sqrt{2}\times \sqrt{2} = 20 \end{eqnarray} となる。 位相は,図1より $-45^{\circ}$ となる。 角周波数は,$\omega =2\pi\times 50 = 100\pi$ より 瞬時値は,次のようになる。 \begin{eqnarray} \underline{20\sin \left(100\pi t -45^{\circ}\right)} \end{eqnarray} \item (2) (1)よりフェーザ表示は, \begin{eqnarray} 10\sqrt{2}\angle -45^{\circ} \end{eqnarray} となるからフェーザ図は図2のようになる。 \end{enumerate} %=image:/media/2014/11/20/141643063028954900.png:図1 %=image:/media/2014/11/20/141643063029023300.png:図2