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例題集 / 電気・電子 / 電気回路 / 交流回路の直並列計算
図のように, 周波数 \(f = 50\) [Hz] の電源\(E=100\sqrt{2}\sin\omega t \) [V], 抵抗 \(R=100~[\Omega]\), コイル \(L=\frac{50}{\pi}\) [H] から成る\(RL\)回路がある。回路に流れる電流 \(I\)[A]を求めよ.
%=image:/media/2014/11/20/141643099284292400.png:
解答例・解説
\(E\) をフェーザ表示すると
\begin{align}
E = 100\angle 0^{\circ}
\end{align}
となる. 次に, 回路のインピーダンス\(Z\) は,
\begin{align}
Z = R + j\omega L = 100 + j2\pi \times \frac{50}{\pi}
= 100 + j100 = 100\sqrt{2}\angle 45^{\circ}
\end{align}
となる。よって,オームの法則から電流は次のように求まる。
\begin{align}
I = \frac{E}{Z} = \frac{100\angle 0^{\circ}}{100\sqrt{2}\angle 45^{\circ}}
= \frac{1}{\sqrt{2}}\angle -45^{\circ} = \sin(\omega t -45^{\circ})~[\rm A]
\end{align}
$RL$直列回路(2)
知識・記憶レベル
難易度: ★
図1の$RL$直列回路に周波数$f=50~{\rm [Hz]}$ の電流 $\dot{I}=2\angle
0^{\circ}~{\rm [A]}$ が流れている。以下の問いに答えよ。
\begin{enumerate}
\item
(1) 回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$ を極表示で求めよ。
\item
(2) $\dot{I}$,$\dot{V}_{R}$,$\dot{V}_{L}$,$\dot{V}$ の関係を示すフェーザ図を描け。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/20/141643193837735300.png:図1
解答例・解説
\begin{enumerate}
(1) 合成インピーダンスは
\begin{eqnarray}
\dot{Z} = R + j\omega L
= 100\pi + j100\pi \times \sqrt{3}
\end{eqnarray}
となる。よって,\par
大きさ
$\sqrt{(100\pi)^{2} + (100\sqrt{3}\pi)^{2}} = 200\pi$\par
位相
$\tan^{-1}\dfrac{100\sqrt{3}\pi}{100\pi} = 60^{\circ}$\par
の関係から次のようになる。
\begin{eqnarray}
\underline{\dot{Z} = 200\pi\angle 60^{\circ}}
\end{eqnarray}
\item
(2) $\dot{V}_{R}$,$\dot{V}_{L}$,
$\dot{V}$ のフェーザ表示を求める。
\begin{eqnarray}
\dot{V}_{R} &=& \dot{I}R = 100\pi\times 2\angle 0^{\circ}
= 200\pi\angle0^{\circ}\\
\dot{V}_{L} &=& j\omega L \dot{I}
= j100\pi\times \sqrt{3} \times 2\angle 0^{\circ}\nonumber\\
&=& 100\sqrt{3}\pi \angle 90^{\circ}\times 2\angle 0^{\circ}\nonumber\\
&=& 200\sqrt{3}\pi \angle 90^{\circ}\\
\dot{V} &=& \dot{V}_{R} + \dot{V}_{L}
= 200\pi + j200\sqrt{3}\pi
\end{eqnarray}
$\dot{V}$の大きさ $\sqrt{(200\pi)^{2}+(200\sqrt{3}\pi)^{2}} = 400\pi$\par
$\dot{V}$の位相 $\tan^{-1}\dfrac{200\sqrt{3}\pi}{200\pi} = \tan^{-1}\sqrt{3} =
60^{\circ}$\par
よって,$\dot{V} = 400\pi\angle 60^{\circ}$となり,
フェーザ図は図2となる。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/20/141643193947825200.png:図2
図1の回路の端子aからbに向かって周波数 $f=50$ [Hz]で,
$\dot{I}=2\angle 0^{\circ}$ [A] の電流が流れている。以下の問いに答
えよ。
\begin{enumerate}
\item
(1) a-b間の電圧
$\dot{V}$ のフェーザ表示を求めよ。
\item
(2) $\dot{I}$,$\dot{V}$ のフェーザ図を描け。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/20/141643245592753800.png:図1
解答例・解説
\begin{enumerate}
\item
(1) アドミタンスを求める。
\begin{eqnarray}
\dot{Y} &=& \frac{1}{R_{0}}+j\omega C
= \frac{1}{10}+j100\pi \times \frac{1}{\pi}\times 10^{-3}\nonumber\\
&=& 0.1 + j 0.1
= \sqrt{2}\times 10^{-1} \angle 45^{\circ}
\end{eqnarray}
よって,極表示は
\begin{eqnarray}
\dot{Z} = \frac{1}{\dot{Y}}
= \frac{10}{\sqrt{2}} \angle -45^{\circ} ~\rm [\Omega]
\end{eqnarray}
となる。よって,
\begin{eqnarray}
\dot{V} &=& \dot{I}\dot{Z} =
2\angle 0^{\circ} \times \frac{10}{\sqrt{2}} \angle -45^{\circ}\\
&=& \underline{10\sqrt{2} \angle -45^{\circ}}~\rm [V]
\end{eqnarray}
\item
(2) フェーザ図は図2のようになる。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/20/141643245695500400.png:図2
$RL$直並列回路
知識・記憶レベル
難易度: ★
図1のような $RL$ 直列回路と周波数 $50~\rm [Hz]$ で等価な図2の並列回路の $R'$ および $L'$ の値を求めよ。
%=image:/media/2014/11/20/141643294756579500.png:図1
%=image:/media/2014/11/20/141643294858359600.png:図2
解答例・解説
(a)の回路のアドミタンスは
\begin{eqnarray}
\dot{Y} = \frac{1}{R+j\omega L}
= \frac{R-j\omega L}{R^{2}+(\omega L)^{2}}
\end{eqnarray}
となるので,(b)の回路と比較すると
\begin{eqnarray}
&&\frac{1}{R'} = \frac{R}{R^{2}+(\omega L)^{2}}~~~~(1)\\
&&\frac{1}{\omega L'} = \frac{\omega L}{R^{2}+(\omega L)^{2}}~~~~(2)
\end{eqnarray}
となる。よって,(1)式より
\begin{eqnarray}
R' &=& \frac{R^{2}+(\omega L)^{2}}{R}
= \frac{10^{2}+\left(100\pi\times \frac{1}{5\pi}\right)^{2}}{10}\nonumber\\
&=& \frac{100+400}{10} = \underline{50}~\rm [\Omega]
\end{eqnarray}
となる。(2)式より
\begin{eqnarray}
\omega L' &=& \frac{R^{2}+(\omega L)^{2}}{\omega L}\nonumber\\
L' &=& \frac{R^{2}+(\omega L)^{2}}{\omega (\omega L)}
= \frac{100+400}{100\pi\times 20}\nonumber\\
&=& \frac{500}{2000\pi} = \underline{\frac{1}{4\pi}}~\rm [H]
\end{eqnarray}
$RL$直並列回路(2)
知識・記憶レベル
難易度: ★
図の回路の端子 a-b 間の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の複素数表示を
求めよ。
%=image:/media/2014/11/20/141643317218933100.png:
解答例・解説
\begin{eqnarray}
\dot{Z} &=&
R_{1} + j\omega L_{1} + \frac{j\omega L_{2}R_{2}}{R_{2}+j\omega
L_{2}}\nonumber\\
&=& 10 + j100\pi \times \frac{1}{1000\pi}
+ \frac{j100\pi\times \frac{1}{100\pi}\times 3}
{3+j100\pi \times \frac{1}{100\pi}}\nonumber\\
&=& 10 + j\frac{1}{10} + \frac{j3}{3+j}\nonumber\\
&=& 10 + j\frac{1}{10} +
\frac{j3(3-j)}{9+1}\nonumber\\
&=& 10 + j\frac{1}{10} + \frac{3+j9}{10}\nonumber\\
&=& 10 + \frac{3}{10} + j\left(\frac{1}{10}+\frac{9}{10}\right)\nonumber\\
&=& \underline{10.3 + j}~\rm [\Omega]
\end{eqnarray}
$RL$直並列回路(3)
知識・記憶レベル
難易度: ★
図の回路の端子 a-b 間の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の複素数表示を
求めよ。
%=image:/media/2014/11/20/141643332526349900.png:
解答例・解説
\begin{eqnarray}
\dot{Y} &=& \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{j\omega L_{1}} +
\frac{1}{R_{2}+j\omega L_{2}}\nonumber\\
&=& \frac{3}{5} + \frac{1}{j100\pi\times \frac{5}{100\pi}} +
\frac{1}{2 + j100\pi \times \frac{1}{100\pi}}\nonumber\\
&=& \frac{3}{5} + \frac{1}{j5} +
\frac{1}{2 +j}\nonumber\\
&=& \frac{3}{5} - j \frac{1}{5} +
\frac{2 - j}{4+1}\nonumber\\
&=& \frac{3}{5} - j \frac{1}{5} +
\frac{2 - j}{5}\nonumber\\
&=& \frac{3}{5} + \frac{2}{5}
- j \frac{1}{5} - j\frac{1}{5}\nonumber\\
&=& \underline{1 - j \frac{2}{5}}
\end{eqnarray}
図1の回路の端子間に周波数 $f = 50~{\rm [Hz]}$ の電圧
$\dot{V}=100\angle 0^{\circ}~{\rm [V]}$ が加えられている。
以下の問いに答えよ。
\begin{enumerate}
\item
(1) インピーダンス$\dot{Z}$を極表示で求めよ。
\item
(2) $\dot{V}$,$\dot{I}$ のフェーザ図を描け。
\item
(3) 力率 $\cos\theta$ を求めよ。
\item
(4) 電力 $P$ の値を求めよ。
\item
(5) 電圧 $\dot{V}$ と電流 $\dot{I}$ の瞬時値の式を示し,
その波形を図2に描け。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/20/141643394319858100.png:図1
%=image:/media/2014/11/20/141643394423538100.png:図2
解答例・解説
\begin{enumerate}
\item
(1) インピーダンス $\dot{Z}$ は
\begin{eqnarray}
\dot{Z} &=& R + \frac{1}{j\omega C}
= 10\sqrt{3} + \frac{1}{j100\pi \times \frac{1}{1000\pi}}\nonumber\\
&=& 10\sqrt{3} -j 10
\end{eqnarray}
大きさ $\sqrt{(10\sqrt{3})^{2}+10^{2}} = 20$\par
位相 $\tan^{-1}\dfrac{-10}{10\sqrt{3}} = -30^{\circ}$\par
から以下のようになる。
\begin{eqnarray}
\underline{\dot{Z} = 20\angle -30^{\circ}}
\end{eqnarray}
\item
(2) 電流 $\dot{I}$ は
\begin{eqnarray}
\dot{I} = \frac{\dot{V}}{\dot{Z}}
= \frac{100\angle 0^{\circ}}{ 20\angle -30^{\circ}}
= 5 \angle 30^{\circ}
\end{eqnarray}
となる。
フェーザ図は,図3となる。
\item
(3) 力率は,次のようになる。
\begin{eqnarray}
\cos\theta = \cos(30^{\circ}) = \underline{\frac{\sqrt{3}}{2}}
\end{eqnarray}
\item
(4) 電力は,次のようになる。
\begin{eqnarray}
P &=& VI\cos\theta= 100\times 5\times \frac{\sqrt{3}}{2}\nonumber\\
&=& 250\sqrt{3} ~\rm [W]
\end{eqnarray}
\item
(5) 瞬時値を示す。
\begin{eqnarray}
&&v = 100\sqrt{2}\sin \omega t \\
&&i = 5\sqrt{2}\sin (\omega t + 30^{\circ})
\end{eqnarray}
また,波形を図4に示す。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/20/141643394516758400.png:図3
%=image:/media/2014/11/20/141643394623774700.png:図4
図1の回路について,以下の問いに答えよ。
\begin{enumerate}
\item
(1) 共振角周波数 $\omega_{0}$ [rad/s] を求めよ。
\item
(2) 共振時の端子a-b間のインピーダンス
$Z$のフェーザ表示を求めよ。
\item
(3) 共振時の電流 $I_{0}$ [A]のフェーザ表示を求めよ。
\item
(4) 共振時の電圧 $V_{C}$ [V]のフェーザ表示を求めよ。
\item
(5) 回路の$Q_{0}$ の値を求めよ。
\item
(6)半値幅 $\Delta f$ [Hz]の値を求めよ。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/21/141650977929770700.png:図1
解答例・解説
\begin{enumerate}
\item
(1) オームの法則より
\begin{eqnarray}
I = \frac{E}{R+j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)}
\end{eqnarray}
の関係から
\begin{eqnarray}
\omega_{0} L - \frac{1}{\omega_{0} C} = 0
~~\Rightarrow~~\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}
\end{eqnarray}
より,共振角周波数は
\begin{eqnarray}
\omega_{0} &=& \frac{1}{\sqrt{LC}}
= \frac{1}{\sqrt{10\times 10^{-3}\times 4\times 10^{-6}}
}\nonumber\\
&=&\frac{1}{\sqrt{4\times 10^{-8}}}
= \frac{1}{2\times 10^{-4}}\nonumber\\
&=& 0.5\times 10^{4} = \underline{5\times 10^{3}} ~\rm [rad/s]
\end{eqnarray}
\item
(2) インピーダンス $Z$ は
\begin{eqnarray}
Z = R_{0} + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)
\end{eqnarray}
であり,共振時は,$\omega L - \frac{1}{\omega C}=0$ より
共振時のインピーダンス $Z_{0}$ は次のようになる。
\begin{eqnarray}
Z_{0} = R_{0} = \underline{10\angle 0^{\circ}}~\rm [\Omega]
\end{eqnarray}
\item
(3) 電流 $I_{0}$ は
\begin{eqnarray}
I_{0} = \frac{E}{Z_{0}} = \frac{20\angle 0^{\circ}}{10\angle 0^{\circ}}
= \underline{2\angle 0^{\circ}} ~\rm [A]
\end{eqnarray}
\item
(4) 電圧 $V_{C}$ は
\begin{eqnarray}
V_{C} &=& \frac{I_{0}}{j\omega_{0} C} =
\frac{2\angle 0^{\circ}}{j5\times 10^{3}\times 4\times 10^{-6}}\nonumber\\
&=& \frac{2\angle 0^{\circ}}{2\times 10^{-2}\angle 90^{\circ}}\nonumber\\
&=& \underline{100\angle -90^{\circ}}~\rm [A]
\end{eqnarray}
\item
(5) $Q_{0}$は以下のようになる。
\begin{eqnarray}
Q_{0} &=& \frac{\omega_{0}L}{R_{0}}\nonumber\\
&=& \frac{5\times 10^{3}\times 10\times 10^{-3}}{10}\nonumber\\
&=& \underline{5}
\end{eqnarray}
\item
(6) 半値幅 $\Delta f$ は
\begin{eqnarray}
&&\frac{1}{Q_{0}} = \frac{\Delta \omega}{\omega_{0}}
~~\Rightarrow~~
\Delta \omega = \frac{1}{Q_{0}} \times \omega_{0}\nonumber\\
&&~~\Rightarrow~~
\Delta f = \frac{1}{2\pi Q_{0}} \times \omega_{0}
%= \frac{1}{2\pi Q_{0}\sqrt{LC}}
\end{eqnarray}
の関係から以下のように求まる。
\begin{eqnarray}
\Delta f &=& \frac{5\times 10^{3}}{2\pi \times 5}
=
\underline{\frac{1}{2\pi}\times 10^{3}} ~\rm [Hz]
\end{eqnarray}
\end{enumerate}