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例題集 / 電気・電子 / 電気回路 / 交流回路の直並列計算

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難易度

RL直列回路

知識・記憶レベル   難易度:
図のように, 周波数 \(f = 50\) [Hz] の電源\(E=100\sqrt{2}\sin\omega t \) [V], 抵抗 \(R=100~[\Omega]\), コイル \(L=\frac{50}{\pi}\) [H] から成る\(RL\)回路がある。回路に流れる電流 \(I\)[A]を求めよ. %=image:/media/2014/11/20/141643099284292400.png:

解答例・解説

\(E\) をフェーザ表示すると \begin{align} E = 100\angle 0^{\circ} \end{align} となる. 次に, 回路のインピーダンス\(Z\) は, \begin{align} Z = R + j\omega L = 100 + j2\pi \times \frac{50}{\pi} = 100 + j100 = 100\sqrt{2}\angle 45^{\circ} \end{align} となる。よって,オームの法則から電流は次のように求まる。 \begin{align} I = \frac{E}{Z} = \frac{100\angle 0^{\circ}}{100\sqrt{2}\angle 45^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\angle -45^{\circ} = \sin(\omega t -45^{\circ})~[\rm A] \end{align}

$RL$直列回路(2)

知識・記憶レベル   難易度:
図1の$RL$直列回路に周波数$f=50~{\rm [Hz]}$ の電流 $\dot{I}=2\angle 0^{\circ}~{\rm [A]}$ が流れている。以下の問いに答えよ。 \begin{enumerate} \item (1) 回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$ を極表示で求めよ。 \item (2) $\dot{I}$,$\dot{V}_{R}$,$\dot{V}_{L}$,$\dot{V}$ の関係を示すフェーザ図を描け。 \end{enumerate} %=image:/media/2014/11/20/141643193837735300.png:図1

解答例・解説

\begin{enumerate} (1) 合成インピーダンスは \begin{eqnarray} \dot{Z} = R + j\omega L = 100\pi + j100\pi \times \sqrt{3} \end{eqnarray} となる。よって,\par 大きさ $\sqrt{(100\pi)^{2} + (100\sqrt{3}\pi)^{2}} = 200\pi$\par 位相 $\tan^{-1}\dfrac{100\sqrt{3}\pi}{100\pi} = 60^{\circ}$\par の関係から次のようになる。 \begin{eqnarray} \underline{\dot{Z} = 200\pi\angle 60^{\circ}} \end{eqnarray} \item (2) $\dot{V}_{R}$,$\dot{V}_{L}$, $\dot{V}$ のフェーザ表示を求める。 \begin{eqnarray} \dot{V}_{R} &=& \dot{I}R = 100\pi\times 2\angle 0^{\circ} = 200\pi\angle0^{\circ}\\ \dot{V}_{L} &=& j\omega L \dot{I} = j100\pi\times \sqrt{3} \times 2\angle 0^{\circ}\nonumber\\ &=& 100\sqrt{3}\pi \angle 90^{\circ}\times 2\angle 0^{\circ}\nonumber\\ &=& 200\sqrt{3}\pi \angle 90^{\circ}\\ \dot{V} &=& \dot{V}_{R} + \dot{V}_{L} = 200\pi + j200\sqrt{3}\pi \end{eqnarray} $\dot{V}$の大きさ $\sqrt{(200\pi)^{2}+(200\sqrt{3}\pi)^{2}} = 400\pi$\par $\dot{V}$の位相 $\tan^{-1}\dfrac{200\sqrt{3}\pi}{200\pi} = \tan^{-1}\sqrt{3} = 60^{\circ}$\par よって,$\dot{V} = 400\pi\angle 60^{\circ}$となり, フェーザ図は図2となる。 \end{enumerate} %=image:/media/2014/11/20/141643193947825200.png:図2

$RC$並列回路

知識・記憶レベル   難易度:
図1の回路の端子aからbに向かって周波数 $f=50$ [Hz]で, $\dot{I}=2\angle 0^{\circ}$ [A] の電流が流れている。以下の問いに答 えよ。 \begin{enumerate} \item (1) a-b間の電圧 $\dot{V}$ のフェーザ表示を求めよ。 \item (2) $\dot{I}$,$\dot{V}$ のフェーザ図を描け。 \end{enumerate} %=image:/media/2014/11/20/141643245592753800.png:図1

解答例・解説

\begin{enumerate} \item (1) アドミタンスを求める。 \begin{eqnarray} \dot{Y} &=& \frac{1}{R_{0}}+j\omega C = \frac{1}{10}+j100\pi \times \frac{1}{\pi}\times 10^{-3}\nonumber\\ &=& 0.1 + j 0.1 = \sqrt{2}\times 10^{-1} \angle 45^{\circ} \end{eqnarray} よって,極表示は \begin{eqnarray} \dot{Z} = \frac{1}{\dot{Y}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \angle -45^{\circ} ~\rm [\Omega] \end{eqnarray} となる。よって, \begin{eqnarray} \dot{V} &=& \dot{I}\dot{Z} = 2\angle 0^{\circ} \times \frac{10}{\sqrt{2}} \angle -45^{\circ}\\ &=& \underline{10\sqrt{2} \angle -45^{\circ}}~\rm [V] \end{eqnarray} \item (2) フェーザ図は図2のようになる。 \end{enumerate} %=image:/media/2014/11/20/141643245695500400.png:図2

$RL$直並列回路

知識・記憶レベル   難易度:
図1のような $RL$ 直列回路と周波数 $50~\rm [Hz]$ で等価な図2の並列回路の $R'$ および $L'$ の値を求めよ。 %=image:/media/2014/11/20/141643294756579500.png:図1 %=image:/media/2014/11/20/141643294858359600.png:図2

解答例・解説

(a)の回路のアドミタンスは \begin{eqnarray} \dot{Y} = \frac{1}{R+j\omega L} = \frac{R-j\omega L}{R^{2}+(\omega L)^{2}} \end{eqnarray} となるので,(b)の回路と比較すると \begin{eqnarray} &&\frac{1}{R'} = \frac{R}{R^{2}+(\omega L)^{2}}~~~~(1)\\ &&\frac{1}{\omega L'} = \frac{\omega L}{R^{2}+(\omega L)^{2}}~~~~(2) \end{eqnarray} となる。よって,(1)式より \begin{eqnarray} R' &=& \frac{R^{2}+(\omega L)^{2}}{R} = \frac{10^{2}+\left(100\pi\times \frac{1}{5\pi}\right)^{2}}{10}\nonumber\\ &=& \frac{100+400}{10} = \underline{50}~\rm [\Omega] \end{eqnarray} となる。(2)式より \begin{eqnarray} \omega L' &=& \frac{R^{2}+(\omega L)^{2}}{\omega L}\nonumber\\ L' &=& \frac{R^{2}+(\omega L)^{2}}{\omega (\omega L)} = \frac{100+400}{100\pi\times 20}\nonumber\\ &=& \frac{500}{2000\pi} = \underline{\frac{1}{4\pi}}~\rm [H] \end{eqnarray}

$RL$直並列回路(2)

知識・記憶レベル   難易度:
図の回路の端子 a-b 間の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の複素数表示を 求めよ。 %=image:/media/2014/11/20/141643317218933100.png:

解答例・解説

\begin{eqnarray} \dot{Z} &=& R_{1} + j\omega L_{1} + \frac{j\omega L_{2}R_{2}}{R_{2}+j\omega L_{2}}\nonumber\\ &=& 10 + j100\pi \times \frac{1}{1000\pi} + \frac{j100\pi\times \frac{1}{100\pi}\times 3} {3+j100\pi \times \frac{1}{100\pi}}\nonumber\\ &=& 10 + j\frac{1}{10} + \frac{j3}{3+j}\nonumber\\ &=& 10 + j\frac{1}{10} + \frac{j3(3-j)}{9+1}\nonumber\\ &=& 10 + j\frac{1}{10} + \frac{3+j9}{10}\nonumber\\ &=& 10 + \frac{3}{10} + j\left(\frac{1}{10}+\frac{9}{10}\right)\nonumber\\ &=& \underline{10.3 + j}~\rm [\Omega] \end{eqnarray}

$RL$直並列回路(3)

知識・記憶レベル   難易度:
図の回路の端子 a-b 間の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の複素数表示を 求めよ。 %=image:/media/2014/11/20/141643332526349900.png:

解答例・解説

\begin{eqnarray} \dot{Y} &=& \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{j\omega L_{1}} + \frac{1}{R_{2}+j\omega L_{2}}\nonumber\\ &=& \frac{3}{5} + \frac{1}{j100\pi\times \frac{5}{100\pi}} + \frac{1}{2 + j100\pi \times \frac{1}{100\pi}}\nonumber\\ &=& \frac{3}{5} + \frac{1}{j5} + \frac{1}{2 +j}\nonumber\\ &=& \frac{3}{5} - j \frac{1}{5} + \frac{2 - j}{4+1}\nonumber\\ &=& \frac{3}{5} - j \frac{1}{5} + \frac{2 - j}{5}\nonumber\\ &=& \frac{3}{5} + \frac{2}{5} - j \frac{1}{5} - j\frac{1}{5}\nonumber\\ &=& \underline{1 - j \frac{2}{5}} \end{eqnarray}

$RC$直列回路

知識・記憶レベル   難易度:
図1の回路の端子間に周波数 $f = 50~{\rm [Hz]}$ の電圧 $\dot{V}=100\angle 0^{\circ}~{\rm [V]}$ が加えられている。 以下の問いに答えよ。 \begin{enumerate} \item (1) インピーダンス$\dot{Z}$を極表示で求めよ。 \item (2) $\dot{V}$,$\dot{I}$ のフェーザ図を描け。 \item (3) 力率 $\cos\theta$ を求めよ。 \item (4) 電力 $P$ の値を求めよ。 \item (5) 電圧 $\dot{V}$ と電流 $\dot{I}$ の瞬時値の式を示し, その波形を図2に描け。 \end{enumerate} %=image:/media/2014/11/20/141643394319858100.png:図1 %=image:/media/2014/11/20/141643394423538100.png:図2

解答例・解説

\begin{enumerate} \item (1) インピーダンス $\dot{Z}$ は \begin{eqnarray} \dot{Z} &=& R + \frac{1}{j\omega C} = 10\sqrt{3} + \frac{1}{j100\pi \times \frac{1}{1000\pi}}\nonumber\\ &=& 10\sqrt{3} -j 10 \end{eqnarray} 大きさ $\sqrt{(10\sqrt{3})^{2}+10^{2}} = 20$\par 位相 $\tan^{-1}\dfrac{-10}{10\sqrt{3}} = -30^{\circ}$\par から以下のようになる。 \begin{eqnarray} \underline{\dot{Z} = 20\angle -30^{\circ}} \end{eqnarray} \item (2) 電流 $\dot{I}$ は \begin{eqnarray} \dot{I} = \frac{\dot{V}}{\dot{Z}} = \frac{100\angle 0^{\circ}}{ 20\angle -30^{\circ}} = 5 \angle 30^{\circ} \end{eqnarray} となる。 フェーザ図は,図3となる。 \item (3) 力率は,次のようになる。 \begin{eqnarray} \cos\theta = \cos(30^{\circ}) = \underline{\frac{\sqrt{3}}{2}} \end{eqnarray} \item (4) 電力は,次のようになる。 \begin{eqnarray} P &=& VI\cos\theta= 100\times 5\times \frac{\sqrt{3}}{2}\nonumber\\ &=& 250\sqrt{3} ~\rm [W] \end{eqnarray} \item (5) 瞬時値を示す。 \begin{eqnarray} &&v = 100\sqrt{2}\sin \omega t \\ &&i = 5\sqrt{2}\sin (\omega t + 30^{\circ}) \end{eqnarray} また,波形を図4に示す。 \end{enumerate} %=image:/media/2014/11/20/141643394516758400.png:図3 %=image:/media/2014/11/20/141643394623774700.png:図4

共振回路

知識・記憶レベル   難易度:
図1の回路について,以下の問いに答えよ。 \begin{enumerate} \item (1) 共振角周波数 $\omega_{0}$ [rad/s] を求めよ。 \item (2) 共振時の端子a-b間のインピーダンス $Z$のフェーザ表示を求めよ。 \item (3) 共振時の電流 $I_{0}$ [A]のフェーザ表示を求めよ。 \item (4) 共振時の電圧 $V_{C}$ [V]のフェーザ表示を求めよ。 \item (5) 回路の$Q_{0}$ の値を求めよ。 \item (6)半値幅 $\Delta f$ [Hz]の値を求めよ。 \end{enumerate} %=image:/media/2014/11/21/141650977929770700.png:図1

解答例・解説

\begin{enumerate} \item (1) オームの法則より \begin{eqnarray} I = \frac{E}{R+j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)} \end{eqnarray} の関係から \begin{eqnarray} \omega_{0} L - \frac{1}{\omega_{0} C} = 0 ~~\Rightarrow~~\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{eqnarray} より,共振角周波数は \begin{eqnarray} \omega_{0} &=& \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{10\times 10^{-3}\times 4\times 10^{-6}} }\nonumber\\ &=&\frac{1}{\sqrt{4\times 10^{-8}}} = \frac{1}{2\times 10^{-4}}\nonumber\\ &=& 0.5\times 10^{4} = \underline{5\times 10^{3}} ~\rm [rad/s] \end{eqnarray} \item (2) インピーダンス $Z$ は \begin{eqnarray} Z = R_{0} + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right) \end{eqnarray} であり,共振時は,$\omega L - \frac{1}{\omega C}=0$ より 共振時のインピーダンス $Z_{0}$ は次のようになる。 \begin{eqnarray} Z_{0} = R_{0} = \underline{10\angle 0^{\circ}}~\rm [\Omega] \end{eqnarray} \item (3) 電流 $I_{0}$ は \begin{eqnarray} I_{0} = \frac{E}{Z_{0}} = \frac{20\angle 0^{\circ}}{10\angle 0^{\circ}} = \underline{2\angle 0^{\circ}} ~\rm [A] \end{eqnarray} \item (4) 電圧 $V_{C}$ は \begin{eqnarray} V_{C} &=& \frac{I_{0}}{j\omega_{0} C} = \frac{2\angle 0^{\circ}}{j5\times 10^{3}\times 4\times 10^{-6}}\nonumber\\ &=& \frac{2\angle 0^{\circ}}{2\times 10^{-2}\angle 90^{\circ}}\nonumber\\ &=& \underline{100\angle -90^{\circ}}~\rm [A] \end{eqnarray} \item (5) $Q_{0}$は以下のようになる。 \begin{eqnarray} Q_{0} &=& \frac{\omega_{0}L}{R_{0}}\nonumber\\ &=& \frac{5\times 10^{3}\times 10\times 10^{-3}}{10}\nonumber\\ &=& \underline{5} \end{eqnarray} \item (6) 半値幅 $\Delta f$ は \begin{eqnarray} &&\frac{1}{Q_{0}} = \frac{\Delta \omega}{\omega_{0}} ~~\Rightarrow~~ \Delta \omega = \frac{1}{Q_{0}} \times \omega_{0}\nonumber\\ &&~~\Rightarrow~~ \Delta f = \frac{1}{2\pi Q_{0}} \times \omega_{0} %= \frac{1}{2\pi Q_{0}\sqrt{LC}} \end{eqnarray} の関係から以下のように求まる。 \begin{eqnarray} \Delta f &=& \frac{5\times 10^{3}}{2\pi \times 5} = \underline{\frac{1}{2\pi}\times 10^{3}} ~\rm [Hz] \end{eqnarray} \end{enumerate}