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例題集 / 電気・電子 / 電気回路 / 周波数特性・ベクトル軌跡
図1の $L$-$R$ 直列回路の端子間に加える電圧 $E$ の大きさ
を一定に保ち,周波数 $f$ を $0$ から広範囲に変化させた。以下の問いに答えよ。
\begin{enumerate}
\item
(1) $R$ の両端間の電圧 $V_{R}$ の大きさ $|V_{R}|$ について,$f=0$,$f\rightarrow \infty$のときの値をそれぞれ求めよ。
\item
(2) (1)の結果を用いて横軸 $f$,縦軸 $|V_{R}|$ の図を描け。
\item
(3) 電圧 $V_{R}$ の $E$ に対する位相角 $\theta$ について,$f=0$,$f\rightarrow \infty$ のときの値をそれぞれ求めよ。
\item
(4) (3)の結果を用いて横軸 $f$,縦軸 $\theta$ の図を描け。
\item
(5) (1),(3)で求めた $|V_{R}|$,$\theta$ を用いてベクトル軌跡を描け。
必ず矢印でベクトルの軌跡の向きを示すこと。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/21/141651675553116600.png:図1
解答例・解説
\begin{enumerate}
\item
(1) 電圧 $V_{R}$ は
\begin{eqnarray}
V_{R} = \frac{R}{R+j\omega L}E = \frac{R}{R+j2\pi f L}E
\end{eqnarray}
となるので,その大きさ$|V_{R}|$ は
\begin{eqnarray}
|V_{R}| = \frac{R}{\sqrt{R^{2}+(2\pi f L)^{2}}}|E|
\end{eqnarray}
となる。$f=0$ のとき
\begin{eqnarray}
|V_{R}|=\frac{R}{\sqrt{R^{2}}}|E|= \frac{R}{R}|E| = |E|
=\underline{10}~\rm [V]
\end{eqnarray}
となる。$f\rightarrow \infty$ のとき
\begin{eqnarray}
|V_{R}| = \frac{R}{\sqrt{(2\pi fL)^{2}}}|E|
= \frac{R}{2\pi Lf}|E| \rightarrow \underline{0}~\rm [V]
\end{eqnarray}
となる。
\item
(2) 図2となる。
\item
(3) 位相角は
\begin{eqnarray}
\theta = -\angle (R+j2\pi f L)
\end{eqnarray}
となる。
$f=0$ のとき
\begin{eqnarray}
\theta = -\angle R = \underline{0^{\circ}}
\end{eqnarray}
となる。また,$f\rightarrow \infty$ のとき
\begin{eqnarray}
\theta = -\angle (j2\pi f L)
= \underline{-90^{\circ}}
\end{eqnarray}
となる。
\item
(4) 図3のようになる。
\item
(5) 図4のようになる。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/21/141651675655042400.png:図2
%=image:/media/2014/11/21/141651675757147000.png:図3
%=image:/media/2014/11/21/141651675862183800.png:図4
図1 の $C$-$R$ 直列回路の端子間に加える電圧 $E$ の大きさ
を一定に保ち,周波数 $f$ を $0$ から広範囲に変化させた。
以下の問いに答えよ。
\begin{enumerate}
\item
(1) 電圧 $V_{R}$ の大きさ$|V_{R}|$が $|V_{R}|=\dfrac{|E|}{\sqrt{2}}$ になる周波数 $f_{1}$ [Hz]を求めよ。
\item
(2) 電圧 $V_{R}$ の $E$ に対する位相角 $\theta$ について,$f=f_{1}$ のときの $\theta$ の値を求めよ。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/21/141651706851669100.png:図1
解答例・解説
\begin{enumerate}
\item
(1) $V_{R}$は
\begin{eqnarray}
V_{R} = \frac{R}{R+\frac{1}{j\omega C}}
= \frac{R}{R-j\frac{1}{2\pi fC}}
\end{eqnarray}
となり,大きさ$|V_{R}|$ は
\begin{eqnarray}
|V_{R}| = \frac{R}{\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{2\pi fC }\right)^{2}}}|E|
\end{eqnarray}
となる。$f=f_{1}$ のとき,
\begin{eqnarray}
\frac{|E|}{\sqrt{2}}= \frac{R}{\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{2\pi fC
}\right)^{2}}}|E|
\end{eqnarray}
が成り立つ。展開すると
\begin{eqnarray}
\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{2\pi f_{1}C }\right)^{2}} &=& \sqrt{2}R\nonumber\\
R^{2}+\left(\frac{1}{2\pi f_{1}C }\right)^{2} &=& 2R^{2}\nonumber\\
R^{2}&=& \left(\frac{1}{2\pi f_{1}C }\right)^{2}
\nonumber\\
f_{1}^{2}&=& \left(\frac{1}{2\pi RC }\right)^{2}
\end{eqnarray}
となるので,$f_{1}\ge 0$ より次のようになる。
\begin{eqnarray}
f_{1} &=& \frac{1}{2\pi RC}
= \frac{1}{2\pi\times 2\times 10^{3} \times \frac{5}{\pi}\times 10^{-6}}\nonumber\\
&=& \frac{1}{20\times 10^{-3}}
= \frac{1}{2}\times 10^{2}\nonumber\\
&=& \underline{50}~\rm [Hz]
\end{eqnarray}
\item
(2) 位相角は
\begin{eqnarray}
\theta &=& -\angle \left(R-j\frac{1}{2\pi Cf_{1}}\right)\nonumber\\
&=& -\angle \left(R-j\frac{1}{2\pi C\frac{1}{2\pi RC}}\right)\nonumber\\
&=& -\angle \left(R-jR\right)\nonumber\\
&=& -(-45^{\circ}) = \underline{45^{\circ}}
\end{eqnarray}
となる。
\end{enumerate}
$RC$直列回路(2)
知識・記憶レベル
難易度: ★
図1の回路で電源電圧 $E$ の大きさを一定に保ち,周波数 $f$ を広
範囲に変化させた。以下の問いに答えよ。
\begin{enumerate}
\item
(1) $f=0$,$f\rightarrow \infty$のときの電圧 $V$
の大きさ$|V|$ をそれぞれ求めよ。
\item
(2) 電圧 $V$ の大きさ$|V|$は,どのように変化するか横軸 $f$,縦軸$|V|$ で 描
け。
\item
(3) 電圧 $V$ のベクトル軌跡の概形を描け。
ただし,位相角$\theta$は電源電圧 $E$ に対して考えること。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/21/141651780748868200.png:図1
解答例・解説
\begin{enumerate}
\item
(1) 電圧 $V$ は
\begin{eqnarray}
V &=& \frac{R_{2}+\frac{1}{j\omega C}}
{R_{1}+R_{2}+\frac{1}{j\omega C}}E
= \frac{R_{2}-j\frac{1}{\omega C}}
{R_{1}+R_{2}-j\frac{1}{\omega C}}E\nonumber\\
&=& \frac{R_{2}-j\frac{1}{2\pi f C}}
{R_{1}+R_{2}-j\frac{1}{2\pi f C}}E
\end{eqnarray}
となり,大きさ $|V|$ は次のようになる。
\begin{eqnarray}
|V| = \sqrt{
\frac{R_{2}^{2}+\left(\frac{1}{2\pi f C}\right)^{2}}
{(R_{1}+R_{2})^{2}+\left(\frac{1}{2\pi f C}\right)^{2}}
}|E|~~~~(1)
\end{eqnarray}
$f\rightarrow \infty$のとき
\begin{eqnarray}
|V| &=& \sqrt{
\frac{R_{2}^{2}+0}
{(R_{1}+R_{2})^{2}+0}
}|E|
=\frac{R_{2}}
{R_{1}+R_{2}}|E|\nonumber\\
&=& \frac{2}
{10+2}\times 60
= 2\times 5 \nonumber\\
&=& \underline{10} ~\rm [V]
\end{eqnarray}
$f = 0$のときは,(1)式を変形する。
\begin{eqnarray}
|V| = \sqrt{
\frac{(2\pi f C R_{2})^{2}+1}
{(2\pi f C(R_{1}+R_{2}))^{2}+1}
}|E|
\end{eqnarray}
$f = 0$ を代入すると
\begin{eqnarray}
|V| = \sqrt{\frac{1}{1}}|E| = |E|= \underline{60}~\rm [V]
\end{eqnarray}
となる。
\item
(2) 図2のようになる。
\item
(3) 電圧 $V$の電源電圧 $E$に対する位相角$\theta$は
\begin{eqnarray}
\theta &=&\angle \frac{R_{2}-j\frac{1}{\omega C}}
{R_{1}+R_{2}-j\frac{1}{\omega C}}\nonumber\\
&=& \angle \left(R_{2}-j\frac{1}{\omega C}\right)
-\angle \left(R_{1}+R_{2}-j\frac{1}{\omega C}\right)\nonumber\\
&=& \angle \left(R_{2}-j\frac{1}{2\pi f C}\right)
-\angle \left(R_{1}+R_{2}-j\frac{1}{2\pi f C}\right)\nonumber\\
\end{eqnarray}
となる。
$f = 0$ のとき,
\begin{eqnarray}
\theta &=& \lim_{f\rightarrow 0}\angle \left(-j\frac{1}{2\pi f C}\right)
-\angle \left(-j\frac{1}{2\pi f C}\right)\nonumber\\
&=& -90^{\circ}-(-90^{\circ} ) = 0^{\circ}
\end{eqnarray}
となり,$f \rightarrow \infty$ のとき,
\begin{eqnarray}
\theta &=& \angle R_{2}
-\angle \left(R_{1}+R_{2}\right)
= 0^{\circ}-(0^{\circ} ) = 0^{\circ}\nonumber\\
\end{eqnarray}
となる。$f$が $0\sim \infty$ の間では,
\begin{eqnarray}
\angle \left(R_{2}-j\frac{1}{2\pi f C}\right) -
\angle \left(R_{1}+R_{2}-j\frac{1}{2\pi f C}\right)\le 0\nonumber\\
\end{eqnarray}
の関係が成立するので,$\theta \le 0$ となる。
よって,図3のようになる。
%=image:/media/2014/11/21/141651780852371300.png:図2
%=image:/media/2014/11/21/141651780957710000.png:図3
$RLC$直並列回路
知識・記憶レベル
難易度: ★
図1の回路で電源電圧 $E$ の大きさを一定に保ち,周波数 $f$ を広
範囲に変化させた。
$\omega =0$,$\omega \rightarrow \infty$のときの電流 $I$ の大きさ$|I|$ をそれぞれ
求めよ。
%=image:/media/2014/11/21/141651915143692500.png:図1
解答例・解説
電流 $I$ は
\begin{eqnarray}
I &=& \frac{E}
{R_{1}+j\omega L + \frac{R_{2}\frac{1}{j\omega C}}
{R_{2}+\frac{1}{j\omega C}}
}= \frac{E}
{R_{1}+j\omega L + \frac{R_{2}}
{1+ j\omega CR_{2}}
}\nonumber\\
&=&= \frac{E(1+ j\omega CR_{2})}
{(R_{1}+j\omega L)(1+ j\omega CR_{2}) + R_{2}}\nonumber\\
&=& \frac{
E(1+ j\omega CR_{2})
}
{
(R_{1}+R_{2}-\omega^{2}LCR_{2})
+j\omega (L + CR_{1}R_{2})
}\nonumber\\
\end{eqnarray}
となる。よって,大きさは
\begin{eqnarray}
|I| &=&
|E|\sqrt{
\frac{1+ (\omega CR_{2})^{2}
}{
(R_{1}+R_{2}-\omega^{2}LCR_{2})^{2}
+\omega^{2} (L + CR_{1}R_{2})^{2}
}}\nonumber\\
\end{eqnarray}
となる。
$\omega\rightarrow \infty$ のとき
\begin{eqnarray}
|I|&=& \lim_{\omega\rightarrow \infty}
|E|\sqrt{
\frac{1+ (\omega CR_{2})^{2}
}
{
(R_{1}+R_{2}-\omega^{2}LCR_{2})^{2}
+\omega^{2} (L + CR_{1}R_{2})^{2}
}}\nonumber\\
&=&
\lim_{\omega\rightarrow \infty}
|E|\sqrt{
\frac{(\omega CR_{2})^{2}
}
{(-\omega^{2}LCR_{2})^{2}
+\omega^{2} (L + CR_{1}R_{2})^{2}
}}\nonumber\\
&=&\lim_{\omega\rightarrow \infty}
|E|\sqrt{
\frac{(\omega CR_{2})^{2}
}{
\omega^{4}(LCR_{2})^{2}
+\omega^{2} (L + CR_{1}R_{2})^{2}
}}\nonumber\\
&=& \lim_{\omega\rightarrow \infty}
|E|\sqrt{
\frac{\omega^{2} (CR_{2})^{2}
}
{\omega^{4}(LCR_{2})^{2}
}}\nonumber\\
&=&
\lim_{\omega\rightarrow \infty}
|E|\sqrt{
\frac{1
}{
\omega^{2}L^{2}
}}\nonumber\\
&=& \lim_{\omega\rightarrow \infty}
|E|\frac{1}{\omega L}
= \lim_{\omega\rightarrow \infty}
\frac{1}{\omega}\nonumber\\
&=&\underline{0} ~\rm [A]
\end{eqnarray}
$\omega = 0$ のとき
\begin{eqnarray}
|I| &=& |E|\sqrt{
\frac{1+0}
{(R_{1}+R_{2}-0)^{2}+0
}}\nonumber\\
&=& |E|\frac{1}
{R_{1}+R_{2}}\nonumber\\
&=& \frac{110}{10+1} = \underline{10}
~\rm [A]
\end{eqnarray}
となる。