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例題集 / 電気・電子 / 電気回路 / 2端子回路・共振回路
$RLC$直列回路
知識・記憶レベル
難易度: ★
図1に示す直列回路の共振周波数を$8$ [MHz]とする。
共振周波数より$\pm 4$ [kHz]離調したとき回路を流れる電流が共振時の
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$倍に減少した。
定電圧電源 $e$ の実効値を $5$ [V] とするとき，以下の問いに答えよ。
\begin{enumerate}
\item
(1) 回路の $Q$ を求めよ。
\item
(2) 共振時における $R$の端子電圧を求めよ。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/21/141656072187708200.png:図1
解答例・解説
\begin{enumerate}
\item
(1) $Q$は次のようになる。
\begin{eqnarray}
Q&=&\frac{f_{0}}{f_{2}-f_{1}}
=\frac{8\times 10^{6}}{8\times 10^{3}}
=1\times 10^{3}\nonumber\\
&=& \underline{ 1000}
\end{eqnarray}
\item
(2) $R$ の電圧 $V_{R}$は，共振時に $\omega_{0} L- \frac{1}{\omega_{0} C}=0$
なので，回路のインピーダンスは $R$ となる。電源電圧がすべて$R$にかか
るので，
\begin{eqnarray}
V_{R} = e = \underline{5}~\rm [V]
\end{eqnarray}
\end{enumerate}
$RLC$直並列回路
知識・記憶レベル
難易度: ★
図1の回路において，負荷 $Z$ がいかに変わってもその中を流れる電流が一定に
保たれるための条件を求めよ。
%=image:/media/2014/11/21/141656083266362300.png:図1
解答例・解説
電圧 $E$ がかかっていると仮定するとコイル $L$ に流れる電流 $I$ は
\begin{eqnarray}
I = \frac{E}{j\omega L +\frac{\frac{1}{j\omega C}Z}
{Z+\frac{1}{j\omega C}
}}
\end{eqnarray}
となり，$Z$ を流れる電流 $I_{Z}$ は，分流の法則を用いて
\begin{eqnarray}
I_{Z} &=& \frac{\frac{1}{j\omega C}}{Z+\frac{1}{j\omega C}}I\nonumber\\
&=&
\frac{\frac{1}{j\omega C}}{Z+\frac{1}{j\omega C}}\frac{E}{j\omega L +\frac{\frac{1}{j\omega C}Z}
{Z+\frac{1}{j\omega C}
}}\nonumber\\
&=&
\frac{\frac{1}{j\omega C}}
{j\omega L\left(Z+\frac{1}{j\omega C}\right)+\frac{1}{j\omega
C}Z}E\nonumber\\
&=&
\frac{1}
{j\omega L\left(j\omega CZ+1\right)+Z}E\nonumber\\
&=&
\frac{1}
{j\omega L - \omega^{2}LCZ + Z}E\nonumber\\
&=&
\frac{1}
{j\omega L - Z\left(\omega^{2}LC - 1\right)}E\nonumber\\
\end{eqnarray}
となる。よって，負荷$Z$ が変化しても電流が一定になるためには
\begin{eqnarray}
\omega^{2}LC - 1 = 0
\end{eqnarray}
となればよい。
二端子インピーダンス$Z$が次のように与えられるとき，図1の共振回路網により構成したい。
$L_{2}$，$C_{2}$，$L_{4}$，$C_{4}$，$L_{\infty}$ を求めよ。
\begin{eqnarray*}
Z = j\omega \frac{(\omega^{2}-(\sqrt{2})^{2})(\omega^{2}-2^{2})}
{(\omega^{2}-1^{2})(\omega^{2}-(\sqrt{3})^{2})}
\end{eqnarray*}
%=image:/media/2014/11/21/141656102514879400.png:図1
解答例・解説
$A_{2}$，$A_{4}$，$A_{\infty}$ を用いて分解する。
\begin{eqnarray}
Z = j\omega \left(
\frac{A_{2}}{\omega^{2}-1^{2}}+\frac{A_{4}}{\omega^{2}-(\sqrt{3})^{2}}+
A_{\infty}
\right)
\end{eqnarray}
$\underline{A_{\infty}=1}$ である。また，$A_{2}$は下記のように求まる。
\begin{eqnarray}
A_{2}&=&\left.(\omega^{2}-1^{2})\frac{Z}{j\omega}\right|_{\omega=1}\nonumber\\
&=& \frac{(1-2)(1-4)}{1-3}=\frac{(-1)(-3)}{-2}
=-\frac{3}{2}
\end{eqnarray}
$A_{4}$は下記のように求まる。
\begin{eqnarray}
A_{4}&=&\left.(\omega^{2}-(\sqrt{3})^{2})\frac{Z}{j\omega}\right|_{\omega=\sqrt{3}}\nonumber\\
&=& \frac{(3-2)(3-4)}{3-1}=\frac{1(-1)}{2}
=-\frac{1}{2}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
Z &=& j\omega \left(
\frac{-\frac{3}{2}}{\omega^{2}-1^{2}}+\frac{-\frac{1}{2}}{\omega^{2}-(\sqrt{3})^{2}}+1
\right)
\end{eqnarray}
となることから
\begin{eqnarray}
-\frac{1}{C_{2}}=-\frac{3}{2}
~~\Rightarrow~~
\underline{C_{2}=\frac{2}{3}}\\
-\frac{1}{C_{4}}=-\frac{1}{2}
~~\Rightarrow~~
\underline{C_{4}=2}
\end{eqnarray}
$\frac{1}{L_{2}C_{2}}=1^{2}$，$\frac{1}{L_{4}C_{4}}=(\sqrt{3})^{2}$より
\begin{eqnarray}
\underline{L_{2}=\frac{1}{C_{2}}=\frac{3}{2}},~~
\underline{L_{4}=\frac{1}{3C_{4}}=\frac{1}{6}}
\end{eqnarray}