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例題集 / 電気・電子 / 電気回路 / 分布定数
直列インピーダンス $Z$ および並列アドミタンス $Y$ が $x$ の関数として
$Z=Z_{0}\varepsilon^{ax}$，$Y=Y_{0}\varepsilon^{-ax}$ で与えられるとき，
電圧を $x$ の関数として求めたい。以下の空欄に当てはまる値を答えよ。
ただし，$Z_{0}$ および $Y_{0}$ は $x$ に無関係とする。
電圧と電流は次の関係がある。
\begin{eqnarray}
\frac{dV}{dx} = -ZI,~~
\frac{dI}{dx} = -YV
\end{eqnarray}
これらから
\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}V}{dx^{2}}+\fbox{(a)}\frac{dV}{dx} +\fbox{(b)}V = 0
\end{eqnarray}
となる。$V = A\varepsilon^{P x}$ とおいて代入する。
\begin{eqnarray}
P^{2} +\fbox{(c)}P + \fbox{(d)} = 0
\end{eqnarray}
これを解いて得られる $P$ を $\gamma =
\frac{\sqrt{a^{2}+4Z_{0}Y_{0}}}{2}$ を用いてそれぞれ $P_{1}$，$P_{2}$と
おくと
\begin{eqnarray}
P_{1} = \fbox{(e)}+\fbox{(f)},~~
P_{2} = \fbox{(e)}-\fbox{(f)}
\end{eqnarray}
となる。
これを用いて電圧 $V$ は次のように表現することができる。
\begin{eqnarray}
V = A_{1}\varepsilon^{P_{1} x}+A_{2}\varepsilon^{P_{2} x}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\varepsilon^{\gamma x} = \sinh \gamma x + \cosh \gamma x
\label{eqn:10}\\
-\varepsilon^{-\gamma x} = \sinh \gamma x - \cosh \gamma x
\label{eqn:11}
\end{eqnarray}
関係から
\begin{eqnarray}
V = \varepsilon^{\frac{a}{2}x}\left(
\fbox{(g)}\cosh \gamma x + \fbox{(h)}\sinh \gamma x\right)
\end{eqnarray}
となる。
解答例・解説
電圧と電流は次の関係がある。
\begin{eqnarray}
\frac{dV}{dx} = -ZI,~~
\frac{dI}{dx} = -YV
\end{eqnarray}
$Z=Z_{0}\varepsilon^{ax}$，$Y=Y_{0}\varepsilon^{-ax}$ より，
\begin{eqnarray}
\frac{dV}{dx} = -Z_{0}\varepsilon^{ax}I,~~
\frac{dI}{dx} = -Y_{0}\varepsilon^{-ax}V
\end{eqnarray}
さらに $x$ で\reff{微分}{導関数の計算}すると
\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}V}{dx^{2}} &=&
-Z_{0}a\varepsilon^{ax}I-Z_{0}\varepsilon^{ax}\left(\frac{dI}{dx}\right)\nonumber\\
&=& a\frac{dV}{dx}-Z_{0}\varepsilon^{ax}(-Y_{0}\varepsilon^{-ax}V)
\nonumber\\
&=& a\frac{dV}{dx} + Z_{0}Y_{0}V
\end{eqnarray}
となり，整理すると
\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}V}{dx^{2}}\underline{- a}\frac{dV}{dx} \underline{- Z_{0}Y_{0}}V = 0
\end{eqnarray}
となる。$V = A\varepsilon^{P x}$ とおいて代入する。
\begin{eqnarray}
A P^{2}\varepsilon^{P x} - Aa\gamma \varepsilon^{P x} -
Z_{0}Y_{0}A\varepsilon^{P x} = 0\nonumber\\
\Rightarrow ~~ P^{2} \underline{- a}P\underline{-
Z_{0}Y_{0}} = 0\nonumber\\
\end{eqnarray}
これを解くと
\begin{eqnarray}
P = \frac{a\pm \sqrt{a^{2}+4Z_{0}Y_{0}}}{2}
= \frac{a}{2} \pm \frac{\sqrt{a^{2}+4Z_{0}Y_{0}}}{2}
\end{eqnarray}
となる。
ここで，$\gamma = \frac{\sqrt{a^{2}+4Z_{0}Y_{0}}}{2}$ と定義すると
\begin{eqnarray}
P_{1} = \frac{a}{2} +\gamma,~~
P_{2} = \frac{a}{2} -\gamma
\end{eqnarray}
となる。
これを用いて電圧 $V$ は次のように表現することができる。
\begin{eqnarray}
V &=& A_{1}\varepsilon^{P_{1} x}+A_{2}\varepsilon^{P_{2} x}\nonumber\\
&=& A_{1}\varepsilon^{\left(\frac{a}{2} +\gamma\right)
x}+A_{2}\varepsilon^{
\left(\frac{a}{2} -\gamma\right) x}\\
&=& \varepsilon^{\frac{a}{2}x}\left(
A_{1}\varepsilon^{\gamma x} + A_{2}\varepsilon^{-\gamma x}
\right)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\varepsilon^{\gamma x} = \sinh \gamma x + \cosh \gamma x
\\
-\varepsilon^{-\gamma x} = \sinh \gamma x - \cosh \gamma x
\end{eqnarray}
関係から
\begin{eqnarray}
V &=& \varepsilon^{\frac{a}{2}x}\left(
A_{1}(\sinh \gamma x + \cosh \gamma x)\right)\nonumber\\
&&\left. + A_{2}(-\sinh \gamma x + \cosh \gamma x)\right)\nonumber\\
&=& \varepsilon^{\frac{a}{2}x}\left(
(A_{1}+A_{2})\cosh \gamma x + (A_{1}-A_{2})\sinh \gamma x\right)\nonumber\\
\end{eqnarray}
となる。
\noindent
(a) = $-a$\par
(b) = $-Z_{0}Y_{0}$\par
(c) = $-a$\par
(d) = $-Z_{0}Y_{0}$\par
(e) = $\dfrac{a}{2}$\par
(f) = $\gamma$\par
(g) = $A_{1}+A_{2}$\par
(h) = $A_{1}-A_{2}$
送電端からのインピーダンス
知識・記憶レベル
難易度: ★
長さ $l$ [km] の同心ケーブルの一端に無誘導抵抗 $R_{B}$ [$\Omega$] を接続し，
送電端からこれを測定したときのインピーダンスを求めよ。
ただし，ケーブルの心線往復 $1$ km の抵抗を$R$ [$\Omega$]，容量サセプタ
ンスを $B$[$\Omega^{-1}$] とし，その他の定数は無視するものとする。
また，送電端電圧 $V_{S}$，電流 $I_{S}$ が与えられたとき，送電端から測定
した距離 $x$ におけ
る電圧と電流は下記のように表せるとする。
\begin{eqnarray*}
&&V = V_{S}\cosh \gamma x - Z_{0}I_{S}\sinh \gamma x\\
&&I = I_{S}\cosh \gamma x - \frac{V_{S}}{Z_{0}}\sinh \gamma
x
\end{eqnarray*}
ただし，$Z_{0}$，$\gamma$ は次式で与えられる。
\begin{eqnarray*}
Z_{0} = \sqrt{\frac{R}{jB}},~
\gamma = \sqrt{jRB}
\end{eqnarray*}
解答例・解説
$x=l$ では，電圧 $V_{R}$，電流 $I_{R}$ とおくと
\begin{eqnarray}
V_{R} = R_{B}I_{R}~~~~(1)
\end{eqnarray}
となる。また，
\begin{eqnarray}
&&V_{R} = V_{S}\cosh \gamma l - Z_{0}I_{S}\sinh \gamma l~~~~(2)\\
&&I_{R} = I_{S}\cosh \gamma l - \frac{V_{S}}{Z_{0}}\sinh \gamma
~~~~(3)
\end{eqnarray}
(1)，(2)式より
\begin{eqnarray}
R_{B}I_{R} = V_{S}\cosh \gamma l - Z_{0}I_{S}\sinh \gamma l
\end{eqnarray}
(3)式を代入する。
\begin{eqnarray}
&& R_{B}\left(I_{S}\cosh \gamma l - \frac{V_{S}}{Z_{0}}\sinh \gamma l\right)\nonumber\\
&&\hspace{10ex} = V_{S}\cosh \gamma l - Z_{0}I_{S}\sinh \gamma l\\
&&I_{S}\left(R_{B}\cosh \gamma l+Z_{0}\sinh \gamma l\right) \nonumber\\
&&\hspace{10ex}=
V_{S}\left(\cosh \gamma l+\frac{R_{B}}{Z_{0}}\sinh \gamma l\right)
\end{eqnarray}
よって，他端から測定したときのインピーダンスは
\begin{eqnarray}
\frac{V_{S}}{I_{S}} &=& \frac{
R_{B}\cosh \gamma l+Z_{0}\sinh \gamma l
}{
\cosh \gamma l+\frac{R_{B}}{Z_{0}}\sinh \gamma l
}\nonumber\\
&=& \frac{
R_{B}+Z_{0}\tanh \gamma l
}{
1+\frac{R_{B}}{Z_{0}}\tanh \gamma l
}\nonumber\\
\end{eqnarray}