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例題集 / 電気・電子 / 電気回路 / フィルタ
$RC$低域通過フィルタ
知識・記憶レベル
難易度: ★
図1の$RC$低域通過フィルタについて，以下の問いに答えよ。
\begin{enumerate}
\item
(1) $V_{\rm in}$を入力，$V_{\rm out}$ を出力とする周波数応答 $G(\omega)$ を
求めよ。
\item
(2) $|G(\omega)|$が最大値を取るときの周波数 $\omega_{0}$ と最大値
$|G(\omega)|_{\rm MAX}$ を求めよ。
\item
(3) 遮断周波数 20 kHz としたい。$2~\mathrm {k}\Omega$ の抵抗を用いる場合，コンデンサの容量はいくらにすれば
よいか。
ただし，$\pi$ は記号のまま用いてもよい。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/22/141660037660336400.png:図1
解答例・解説
\begin{enumerate}
\item
(1) 分圧から$V_\mathrm {out}$ は
\begin{eqnarray}
V_\mathrm {out} = \frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}V_\mathrm
{in}
= \frac{1}{1+ j\omega CR}V_\mathrm {in}
\end{eqnarray}
となるので，$G(\omega)$ は
\begin{eqnarray}
G(\omega) = \frac{V_\mathrm {out}}{V_\mathrm {in}} =\underline{ \frac{1}{1+ j\omega CR}}\end{eqnarray}
\item
(2) ゲインは，
\begin{eqnarray}
|G(\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (\omega CR)^{2}}}
\end{eqnarray}
より，$|G(\omega)|$ が最大になるには分母が小さくなればよいので，
\begin{eqnarray}
\underline{\omega_{0} = 0}
\end{eqnarray}
このとき，
\begin{eqnarray}
|G(\omega)|_\mathrm {MAX} = |G(\omega_{0})| = \frac{1}{\sqrt{1+ 0}} = \underline{~1~}
\end{eqnarray}
となる。
\item
(3) $|G(\omega)|=\frac{1}{\sqrt{2}}$ となるための条件は
\begin{eqnarray}
\omega CR = 1
\end{eqnarray}
である。よって，
\begin{eqnarray}
\omega = \frac{1}{CR}~~\Rightarrow~~C = \frac{1}{\omega R}
\end{eqnarray}
となればよい。$R=2\times 10^{3}$，$\omega = 2\pi\times 20\times 10^{3}$ を
代入すると
\begin{eqnarray}
C &=& \frac{1}{\omega R}
=\frac{1}{40\pi\times 10^{3}\times 2\times 10^{3}}
=\underline{\frac{1}{80\pi\times 10^{6}}} \nonumber\\
&=& 0.004\times 10^{-6} = \underline{4\times 10^{-9}~\mathrm {F}}
\end{eqnarray}
となる。
\end{enumerate}
図1の回路について，以下の問いに答えよ。
\begin{enumerate}
\item
(1) 直列共振角周波数 $\omega_{SR}$を求めよ。
\item
(2) 並列共振角周波数 $\omega_{PR}$ を求めよ。
\end{enumerate}
%=image:/media/2014/11/22/141660079140539400.png:図1
解答例・解説
\begin{enumerate}
\item
(1) 直列共振角周波数を求める。
インピーダンスは，
\begin{eqnarray}
Z &=& \frac{j\omega L_{2}\left(j\omega L_{1}+ \frac{1}{j\omega C_{1}}\right)
}{
j\omega L_{2} + \left(j\omega L_{1}+ \frac{1}{j\omega C_{1}}\right)
} \nonumber\\
&=& \frac{j\omega L_{2}\left(\omega L_{1} - \frac{1}{\omega C_{1}}\right)
}{
\omega L_{2} + \left(\omega L_{1}- \frac{1}{\omega C_{1}}\right)
}\end{eqnarray}
となる。虚数成分は分子しかなく，
虚数成分が$0$になるとき，$Z$は最小になるので
\begin{eqnarray}
\omega_{SR} L_{1} - \frac{1}{\omega_{SR} C_{1}}
= 0
\end{eqnarray}
となればよい。よって，
\begin{eqnarray}
\underline{\omega_{SR}= \frac{1}{\sqrt{L_{1}C_{1}}}}
\end{eqnarray}
である。
\item
(2) 並列共振角周波数を求める。
アドミタンスは，インピーダンスの逆数で
\begin{eqnarray}
Y &=& \frac{1}{Z}
=
\frac{
\omega L_{2} + \left(\omega L_{1}- \frac{1}{\omega C_{1}}\right)
}{j\omega L_{2}\left(\omega L_{1} - \frac{1}{\omega C_{1}}\right)
}\end{eqnarray}
となる。$Y$が最小になるのは，分子が$0$になるときなので，
\begin{eqnarray}
\omega_{PR} L_{2} + \left(\omega_{PR} L_{1}- \frac{1}{\omega_{PR} C_{1}}\right)= 0
\end{eqnarray}
となればよい。よって，
\begin{eqnarray}
\omega_{PR}(L_{1}+L_{2}) = \frac{1}{\omega_{PR} C_{1}}\nonumber\\
\Rightarrow~~\underline{\omega_{PR} = \frac{1}{\sqrt{(L_{1}+L_{2})C_{1}}}}
\end{eqnarray}
となる。
\end{enumerate}
図1の回路について，$G(\omega)$ の周波数応答を図2に示す。
$V_\mathrm {in}$ を次のように与えたとき，$V_\mathrm {out}$ の振幅の最
大値はいくつになるか答えよ。
\begin{eqnarray}
V_\mathrm{in}(t) = \sin (t),~(\omega = 1である)
\end{eqnarray}
%=image:/media/2014/11/22/141660100916799100.png:図1
%=image:/media/2014/11/22/141660101025386600.png:図2
解答例・解説
$\omega = 1$ のとき，ゲインが-20~[dB] なので，$0.1$ 倍である。
よって，最大値は$0.1$となる。